Diferencialo: Malsamoj inter versioj
| [nekontrolita versio] | [nekontrolita versio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Neniu resumo de redakto |
Neniu resumo de redakto |
||
Linio 1:
''[[diferencialo (mekaniko)]]''
En [[matematiko]], la '''diferencialo''' de reela aŭ multvariabla funkcio estas mezuro de la funkcia kresko aŭ vario. Penso pri diferencialoj estas natura sekvo de studo de [[derivaĵo]]j. Ĉiu diferencialo estas konstruata sur iu funckio, sed ankaŭ en iu punkto. Tiel,
Kiam ''f'' havas pli ol unu argumenton, la diferenco <math>f(x)-f(a)</math> ne dependas nur de la absoluta valoro <math>|x-a|</math>, sed ankaŭ de ĝia direkcio. Simplaekzemple, la duargumenta funkcio <math>f(x,y)=x</math> ne sanĝas se ''y'' ŝangas, sed <math>f(x,0)-f(0,0)=x</math>. Tio montras ke, en la punkto <math>(0,0)</math>, ''f'' iusence havas derivaĵon <math>\frac{x}{x}=1</math>. La diferencialo de ''f'' indikas tiun sintenon, montrante ekzemple la direkton en kiu ''f'' kreskas plej rapide.
Per tiu koncepto oni povas, laŭ la metodoj de la diferenciala kalkulo kaj matematika analitiko, kalkuli la [[momenta ŝanĝo|momentan ŝanĝon]] aŭ [[geometrio|geometrie]] la [[inklino]]n de [[funkcio]] en iu [[punkto]]. Tio elbigas kompreni [[tangento]]jn al [[kurbo]]jn, aŭ en la [[fiziko]] kalkuli momentan [[rapideco]]n.▼
Laŭ la matematika sperto, por studi funkcioj loke (t.e., ĉirkaŭ iu punkto), estas utile kompari ĝin kun linearaj funkcioj (kaj por fari tion [[lineara algebro]] multe gravas). La funkcioj <math>T(x_1,...x_n)=c_1x_1+...+c_nx_n</math>, kvankam simplaj, ŝanĝas malegale en diferencaj direktoj. Do, ili povas modeli la kreskon de diversaj funkcioj. Se la nombrojn <math>c_1,...c_n</math> oni imagas kiel variablojn, malfiniaj linearaj funkcioj imagiĝas, kaj unu el ili povas esti tia, ke <math>f(x)-f(a)</math> estas proksimume <math>T(x-a)</math> se oni rigardas nur ''x''jn proksimajn al ''a''. Alia esprimebleco por tio estas diri ke <math>f(x)-f(a)-T(x-a) = f(x_1,...x_n)-f(a)-(c_1(x_1-a_1)+...+c_n(x_n-a_n))</math> povas esti malgranda eraro, se oni elektas korektajn <math>c_1,...c_n</math>.
Geometrie, linearaj funkcioj havas ebenojn kiel grafikoj (almenaŭ se la domajno estas dudimensia). Se <math>f(x)-f(a)</math> estas preskaŭ lineara, la grafiko de ''f'' estas preskaŭ la grafikebeno. Tio harmonias kun la intuicio ke, en grafikoj de dudimensiaj funkcioj, oni povas imagi ebenojn tangentajn al la grafiksfurfaco.
Sed ne ĉiuj funkcioj havas diferencialon, kaj estas funkcioj kiuj havas diferencialojn nur en kelkaj punktoj. La funkcioj kiuj havas nomiĝas ''diferencialebla'' (en ''a''). Se ''f'' estas diferencialebla en ĉiu punkto ''a'' de sia domajno, oni nomas ĝin "ĉiupunkte diferenciabla", "ĉie diferenciabla" aŭ simile.
▲Per
La [[formulo]] por la diferencialo de la funkcio <math> y =f(x) </math> ĉe <math> x_0</math> estas <math> \mathrm {d} y =f' (x_0) \cdot \mathrm{d} x</math>.
Tial la [[derivaĵo (matematiko)|derivaĵo]] f'(x) ankaŭ povas esti skribita kiel [[diferenciala kvociento]] <math>\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}</math>.
{{stumpo}}
| |||