Kontinuumo-hipotezo: Malsamoj inter versioj

Du aroj havas la saman [[kardinala nombro|kardinalon]] aŭ [[potenco de aro|potencon de aro]] se ekzistas [[ensurĵeto|reciproke unuvalora surĵeto]] (bijekcia rilato) inter ili. Tiel, tio ke du aroj ''S'' kaj ''T'' havas la saman kardinalon signifas ke eblaeblas parigi erojn de ''S'' kun eroj de ''T'' en tia maniero ke ĉiu ero de ''S'' estas parita kun akurate unu ero de ''T'' kaj samtempe ĉiu ero de ''T'' estas parita kun akurate unu ero de ''S''.

Cantor donis du pruvoj ke la kardinalo de la aro de [[entjero]]j estas severe pli malgranda ol kardinalo de la aro de [[reela nombro|reelaj nombroj]]; la dua el ĉi tiuj estas liala [[diagonala argumento de Cantor]]. Liaj pruvoj, tamen, ne montras la amplekson je kiu la kardinalo de la naturaj nombroj estas malpli granda ol la kardinalo de la reelaj nombroj. Cantor proponis la kontinuaĵan hipotezon kiel ebla solvaĵosolvo al ĉi tiu demando.

La hipotezahipotezo statas ke la aro de reelaj nombroj havas minimuman eblan kardinalon kiu estas pli granda ol la kardinalo de la aro de entjeroj. Ekvivalente, se la kardinalo de la entjeroj estas <math>\aleph_0</math> ("[[alef-nombro|alef-nulo]]") kaj la [[kardinalo de la reelaj nombroj]] estas <math>2^{\aleph_0}</math>, la kontinuaĵa hipotezo statas ke ne ekzistas aro ''S'' tia ke

Cantor kredis ke la kontinuaĵa hipotezo estas vera kaj provis dum por multaj jaroj al [[matematika pruvo|pruvi]] ĝin, sed vane. Ĝi iĝis la unua en listo de [[hilbertaj problemoj]] (listo de gravaj malfermitaj demandoj) kiu estis prezentita en la [[Internacia Kongreso de Matematikistoj]] en la jaro 1900 en Parizo. [[Aksioma aroteorio]] estis tiam ankoraŭ ne formulita.

Tiel, la kontinuaĵa hipotezo ŝajnas al esti sendependa de ĉiuj sciataj [[granda kardinala aksiomo|grandaj kardinalaj aksiomoj]] en la ĉirkaŭteksto de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun aksiomo de elekto.

La negativaj rezultoj de Gödel kaj Cohen nane estas ĝenerale akceptataj kiel respondo al la hipotezo, kaj la problemo restas en aktiva moderna esploro.

Gödel kredis ke la kontinuaĵa hipotezo estas malvera kaj ke lia pruvo ke la kontinuaĵa hipotezo estas [[konsekvenca]] nur montras ke la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel ne sufiĉas por priskribi la universon de aroj. Gödel estis [[platonismo|platonisto]] kaj pro tio havis ne problemojn kun asertado de vereco kaj malvereco de frazoj sendepende de ilia proveblecopruvebleco. Cohen, kvankam esti [[formalaĵo|formalisto]], ankaŭ strebis al malakceptado de la kontinuaĵa hipotezo.

Historie, matematikistoj kiu komplezis pli riĉan kaj grandan [[universo (matematiko)|universo]]n de aroj estis kontraŭ la kontinuaĵa hipotezo, dum tiuj komplezantaj netan kaj kontroleblan universon komplezis la kontinuaĵan hipotezon. Paralelaj argumentoj estis faritaj por kaj kontraŭ la [[aksiomo de konstruebleco]], kiu implicas la kontinuaĵan hipotezon. Pli lastatempe, Matthew Foreman eltiris ke [[ontologia maksimumismo]] povas reale esti uzata por argumenti en komplezo de la kontinuaĵa hipotezo, ĉar inter modeloj kiuj havas la samajn reelajn nombrojn, modelojnmodeloj kun "pli multaj" aroj de reelaj nombroj havas pli bonan ŝancon de verigo de la kontinuaĵa hipotezo.

Alia starpunkto estas ke la komprenaĵokoncepto de aro ne estas sufiĉe specifapreciza por difinidecidi ĉu la kontinuaĵa hipotezo estas vera aŭ malvera. Ĉi tiu starpunkto estis ekigita en 1923 de Skolem, eĉ antaŭ la unua nepleneca teoremo de Gödel. Skolem argumentis surbaze de tio kio estas nun sciata kiel [[paradokso de Skolem]], kaj ĝi estis poste subtenata per la sendependeco de la kontinuaĵa hipotezo de la aksiomoj de ZFC, pro tio ke ĉi tiuj aksiomoj estas sufiĉaj por fondi la rudimentajn propraĵojn de aroj kaj kardinaloj. Por argumenti kontraŭ ĉi tiu starpunkto, devus esti sufiĉa al demonstracii novajn aksiomojn kiuj estas subtenataj per intuicio kaj solvas la kontinuaĵan hipotezon en unu aŭ alia direkto. Kvankam la aksiomo de konstruebleco solvas la kontinuaĵan hipotezon, ĝi ne pli estas ĝenerale konsidertakonsiderata kiel intuicie vera pli grande ol la kontinuaĵa hipotezo estas ĝenerale konsideritakonsiderata al estikiel malvera.

Almenaŭ du la aliaj aksiomoj estas proponitaj kiuj havas implikaciojnsekvojn por la kontinuaĵa hipotezo, kvankam ĉi tiuj aksiomoj nun ne trovas larĝan akcepton en la matematika komunumo. En 1986, Chris Freiling prezentis argumenton kontraŭ la kontinuaĵa hipotezo per montrado ke la nego de la kontinuaĵa hipotezo estas ekvivalentoekvivalenta al [[aksiomo de simetrio de Freiling]], frazoaserto pri [[probablo]]j. Freiling kredas ke ĉi tiu aksiomo estas "intuicie vera" sed la aliaj malkonsentas. Malfacila argumento kontraŭ la kontinuaĵa hipotezo ellaborita de W. Hugh Woodin allogis konsidereblan atenton ekde la jaro 2000. Foreman akceptasne pleneconmalakceptas dela argumentoargumenton de Woodin sed donas averton.

La '''ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo''' (GCH) statas ke se la kardinalo de malfinia aro ''T'' estas inter la kardinalo de malfinia aro ''S'' kaj la kardinalo de la [[aro de ĉiuj subaroj]] de ''S'', tiam la kardinalo de ''T'' estas la sama kiel la kardinalo la aro ''S'' aŭ la kardinalo de ''T'' estas la sama kiel la kardinalo de la aro de ĉiuj subaroj de ''S''. Tio estassignifas ke por ĉiu [[malfinio|malfinia]] [[kardinala nombro|kardinalo]] ''λ'' ne ekzistas kardinalo ''κ'' tia ke ''λ<κ<2^λ''. Ekvivalenta kondiĉo estas ke <math>\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}</math> por ĉiu [[numero (matematiko)|orda numero]] ''α''. La alia skribmaniero por ĉi tiu kondiĉo estas <math>\aleph_\alpha=\beth_\alpha</math> por ĉiu orda numero ''α''.

Ĉi tio estas ĝeneraligo de la kontinuaĵa hipotezo pro tio ke la kontinuaĵo havas la saman kardinalon kiel la [[aro de ĉiuj subaroj]] de la entjeroj. Simile al la kontinuaĵa hipotezo, la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo estas ankaŭ sendependa de ZFC. Tamen Wacław Sierpiński pruvis ke la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel kune kun la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo implicas la [[aksiomo de elekto|aksiomon de elekto]]. Tiel la aksiomo de elekto kaj la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo estas ne sendependaj en aroteorio de Zermelo-Fraenkel; ne ekzistas modeloj de aroteorio de Zermelo-Fraenkel en kiukiuj la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo veras kaj la aksiomo de elekto mankasmalveras.

[[Kurt Gödel]] montris ke la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo estas konsekvenco de la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel kune kun la [[aksiomo de konstruebleco]] (la aksiomo ke ĉiu aro estas konstruebla relative al la ordaj numeroj), kaj estas konsekvencaakordigebla kun ZFC. Pro tio ke la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo implicas la kontinuaĵan hipotezon, modelo de Cohen en kiu la kontinuaĵa hipotezo malveras estas modelo en kiu la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo malveras, kaj tial la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo estas ne demonstrebla de ZFC. W. B. Easton uzis la manieron de altrudado ellaboritan de Cohen por pruvi la [[teoremo de Easton|teoremoteoremon de Easton]], kiu montras ke estas konsekvenceakordigeble kun ZFC ke por arbitre grandaj kardinaloj <math>\aleph_\alpha</math>, <math>2^{\aleph_\alpha} \ne; \aleph_{\alpha + 1}</math>. Multe poste, Matthew Foreman kaj W. Hugh Woodin pruvis, alprenantesupozante la konsekvenconakordigeblecon de tre grandaj kardinaloj, ke estas konsekvenceakordigeble ke <math>2^\kappa>\kappa^+\,</math> veras por ĉiu malfinia kardinalo ''κ''. Poste Woodin etendis ĉi tion per montrado de la konsekvencecoakordigebleco de <math>2^\kappa=\kappa^{++}\,</math> por ĉiu ''κ''. Lastatempa rezulto de Carmi Merimovich montras ke, por ĉiu ''n≥1'', estas konsekvenceakordigeble kun ZFC ke por ĉiu ''κ'', ''2^κ'' estas la ''n''-a postantosekvanto de ''κ''. Aliflanke, László Patai pruvis, ke se ''γ'' estas orda numero kaj por ĉiu malfinia kardinalo ''κ'', ''2^κ'' estas la ''γ''-a postantosekvanto de ''κ'', do ''γ'' estas finia.