Unua leĝo de termodinamiko: Malsamoj inter versioj
| [nekontrolita versio] | [nekontrolita versio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
e r2.7.1) (robota aldono de: ms:Hukum termodinamik pertama |
DidCORN (diskuto | kontribuoj) Kompletigo per la kunigo de la artikolo "la unua teoremo de termodinamiko", kiu estas nuligenda |
||
Linio 27:
== Historio ==
Sendepende de si mem elsplorojn faris [[Julius Robert von Mayer|Julius Mayer]] (1842), kaj [[James Prescott Joule]] (1843) rezultis ekformuladon de unua leĝo de termodinamiko en nuna formo. Antaŭe varmo estis tute alia fenomeno. Agnosko de varmo kiel formo de ŝanĝo de energio (krom laboro) kaŭzis aldonadon de varmo al [[principo de konservado de energio]].
== Formulado==
La varmo estas speco de energio, kaj tial, post ĉiu ŝanĝo de la varmo en la [[laboro (fiziko)| laboro]]n, egalas la malgajno de la varmo al la gajnita laboro.
Nuntempe kaj la varmo kaj la laboro mezuriĝas en [[J (apartigilo)|J]]. Iam pli frue por ĉi tiu samvaloreco validis la sekvaj rilatoj:
1 [[kalorio|cal]] = 4,1868 [[ĵulo|J]] <br />1 kcal = 4186,8 J
1 J =
= 0,2389 cal <br />
1 kJ =
0.2389 kcal <br />
Post la malrapida ŝanĝo la ekesta varmo egalas al la pereigita laboro aŭ al la malgajno de iu alia energispeco.
Matematike, ĉi tiun leĝo esprimiĝas jene:
::<math>U - U_0 = Q + W \,</math>
U0 – la komenca [[interna energio]], J<br />
U – la fina interna energio, J<br />
Q – la aldonita varmo, J<br />
W – la aldonita laboro, J .
La diferenco de internaj energioj <math>U-U_0 </math> estas indikita en [[[ĵulo|J]]]
La interna energio estas [[stato-funkcio|funkcio]] de stataj grandoj, kaj ĝi mem estas ia stata grando. Tial la entuta sumo de eldonita aŭ aldonita varmo kaj laboro estas en rilato nur al la komenca kaj al la finaj statoj de la interna energio. Ĝi tute ne dependas de maniero, laŭ kiu la ŝanĝo inter ambaŭ statoj okazis.
Kiam la diferenco nulas (<math>U-U_0 =0</math>) , tiam ŝanĝiĝas la tuta varmo en la laboron, aŭ male – la tuta laboro en la varmon. Ĉi tiuj estas ekstremaj kazoj.
La valideco de <math>Q = -W</math>, kiam estas <math>U-U_0 =0</math>, aŭ memkompreneble la valideco de la ekvacio <math>U-U_0 = Q + W </math> harmonias kun la realeco kaj tiel ankaŭ kun la [[principo de konservado de energio]]. Ĝi samtempe neas la eblecon de gajno de iu ajn energispeco senfonte aŭ senkompense. Sed, sen energiperdo, estas ankaŭ la ebleco de "perpetum mobile" (senĉese moviĝanta aparato – senĉesa moviĝilo).
-─── ● ───
Oni povas esprimi rilaton inter grandoj laŭ la unua termodinamika leĝo, kaj skribi la ekvacion ankaŭ jene:
(46a)
::<math>\Delta Q = \Delta U + \Delta W \,</math>
aŭ por kvanto da 1 kg:
(46b)
::<math>dq = du + dw \,,</math>
kie
+''du'' estas la pligrandiĝo de la interna energio, kaj
-''du'' estas la plimalgrandiĝo de la interna energio.
La interna energio konsistas el la ena [[potenciala energio]].
La ena [[kineta energio]] estas la kineta energio de [[molekulo]]j de la [[gaso]], kiuj estas en daŭra procezo kaj rotacia movado, kaj la kineta energio de la [[atomo]]j, kiuj oscilas. Ĝi dependas de la stato de gaso difinita per la premo kaj temperaturo.
La ena potenciala energio estas difinita per koheraj fortoj inter la molekuloj kaj atomoj. Ankaŭ ĝi dependas de la stato de gaso kaj precipe de la [[specifa volumeno]] dum ia donita temperaturo.
Tial estas:
(47)
::<math> du = du_p + du_k \, ,</math>
kie
''u<sub>p</sub>'' estas la ena potenciala energio, kaj<br />
''u<sub>k</sub>'' estas la ena kineta energio.
Por [[ideala gaso]] estas <math>du_p = 0 </math>, ĉar la difino de ideala gaso ne konsideras iujn ajn koherajn fortojn inter elementaj maseroj.
==== Interna energio ====
La interna energio estas la funkcio de stataj grandoj:
(48)
::<math> u = f(p,v,T) \,</math>
Tial ĝi mem estas la stata grando ne dependanta de la karaktero de stata aliiĝo.
<!--[[Dosiero:Pv ena energio.GIF]]-->
La samo validas por la diferenco u2 – u1.
El tri fundamentaj stataj grandoj p,v, T estas du nedepende ŝanĝeblaj. Tiel la enan energion u difinas unu el tri sekvaj ekvaciaj rilatoj:
(49)
::<math> u = f_1(p,v) \,</math>
::<math> u = f_2(v,T) \,</math>
::<math> u = f_3(p,T) \,</math>
El dependeco de la interna energio je la stataj grandoj rezultas, ke "du" estas totala [[diferencialo]]:
::<math> du = \left( \frac {\partial u}{\partial p}\right)_v dp + \left( \frac {\partial u}{\partial v}\right)_p dv \,</math>
::<math> du = \left( \frac {\partial u}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial u}{\partial v}\right)_p dv \,</math>
::<math> du = \left( \frac {\partial u}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial u}{\partial p}\right)_T dp \,</math>
La rilatoj esence plisimpliĝos por [[ideala gaso|idealaj gasoj]]. Por ili du<sub>p</sub> = 0, koherajn fortojn inter la molekuloj oni ne supozas. Oni konsideras la volumenon de molekuloj kiel nulan, kaj tial la premo dum la konstanta volumeno dependas nur de la temperaturo.
El tri stataj grandoj restas nur unu sendepende ŝanĝigebla – kaj tio estas la temperaturo. La ekvacioj (48) plisimpliĝas jene:
(51)
::<math> u = f(T) \,</math>
En la kazo, kiam oni alkondukas la varmon dq dum la konstanta volumeno (v=konst), tiam dw = p•dv = 0, kaj la tuta varmo transformiĝas en la plialtigon de la interna energio.
Por la ideala gaso validas:
::<math> v = konst \,</math>
::<math> u_0 = 0 \,</math>
::<math> dv = 0 \,</math>
:::::<math> dq = du \,</math>
:::::<math> dq = c_vdT\,</math>
(52)
::<math> q_{1,2} = \Delta u = c_v(T_2-T_1)=c_v(t_2-t_1) \,</math>
La ŝanĝiĝo de la interna energio egalas al la varmo, kiun oni alkondukas al la ideala gaso dum ĝia konstanta volumeno, plivarmiginte ĝin en temperatura pliigo Δt.
La rilato plisimpliĝas post la elekto de la eka temperaturo je 0 oC jene:
::<math> v = konst \,</math>
::<math> t_1 = 0 \,</math>
::<math> u_0 = 0 \,</math>
(53)
:::::<math> u - u_0 = c_v(t_2-t_1) \,</math>
:::::::<math> u = c_vt \, \ ,</math>
kie c<sub>v</sub> estas la specifa [[varmokapacito]] de la substanco en konstanta volumeno.
Kaj tiam la ekvacio (46b) ricevas la formon:
:::::<math>dq = du + dw \,</math>
::<math> dq = 0 \,</math>
:::::<math>dw = -du \,</math>
::<math>du + dw = 0 \,</math>
(54)
:::::<math>w_{1,2} = u_1 - u_2 \,</math>
─── ● ───
La fundamenta ekvacio esprimanta la unuan termodinamikan leĝon (46b)
:::::<math>dq = du + dw \,</math>
povas havi ĉi tiun formon:
(55)
::<math>dq = du + pdv \,</math>
aŭ
(55a)
::<math>dq = c_vdT + pdv \,</math>
Sed ĝi povas havi ankoraŭ unu forman, kiam oni anstataŭas en la ekvacio (55a) la produkton p•dv el la diferencigita stata ekvacio
::<math>pv = rT \,</math>
::<math>pdv + vdT = rdT \,</math>
:::::<math>dq = c_vdT + rdT - vdp \,</math>
::<math>pdv = rdT - vdT \,</math>
kaj oni ricevas (pro la [[rilato de Mayer]]: <math> c_p-c_v = r </math>):
(56)
:::::<math>dq = c_pdT - vdp \, \ ,</math>
kie c<sub>p</sub> estas la specifa [[varmokapacito]] de la substanco sub konstanta premo.
─── ● ───
La unuan termodinamikan leĝon oni povas formuli plurmaniere. Ĉiu formulo esprimas ian aparatan econ de la leĝo pri la energikonservado. Oni uzas plej ofte ĉi tiujn formulojn:
1) La varmo kaj la laboro estas reciproke samvaloraj (ekvivalentaj).<br />
2) La energio de izolita sistemo estas konstanta kaj dum tempo neŝanĝema.<br />
3) La varmo alkondukita al la izolita sisitemo egalas al la plialtigo de interna energio kaj de volumena laboro, rilatante ĉi tiun sistemon.<br />
4) La konstruo de "perpetum mobile" (senĉesa moviĝilo) de unua ordo ne estas ebla. Oni ne povas konstrui maŝinon kiu kapablas plimultigi energion de izolita sistemo.<br />
5) "du" estas la totala diferencialo de la interna energio.
─── ● ───
====Entalpio====
En varmmaŝinoj oni gajnas daŭre laboron el enkondukita labormaterio. Tio okazas ekzemple en varmturbinoj el vaporo aŭ el bruligaĵoj.
<!--[[Dosiero:Entalpio.GIF]]-->
Estu du provizujoj kunligitaj trans motoro M unu kun la alia. En la ujoj estas piŝtoj kun areoj S1 kaj S2.
El la provizujo I. estas labormaterio havanta premon p1 kaj temperaturon T1. Ĝi estas alkondukata en la motoron M por ĉi tie efektivigi la laboron Wt. Ĝi enfluas poste la provizujon II., kie daŭre estas la premo p2 kaj la temperaturo T2. La tuta sistemo estas izolita kontraŭ la ĉirkaŭaĵo. Tial la varmperdoj estas dQ = 0. Kiam la motoron trafluas 1 kg da labormaterio, tiam ŝoviĝas la piŝto de areo S1 en la provizujo I. je la varmdimensio l1 en la motoro M efektiviĝas la laboro Wt kaj en la provizujo II. ŝovoĝas la piŝto de areo S2 je vojdimensio l2.
Laŭ la leĝo pri la energikonservado estas la ŝanĝo de interna energio en ĉi tiu izolita sistemo kiu egalas al la sumo de alkondukitaj energioj (ĝi estas nula.) Dum ĉiu laborprocezo oni devas aldoni novan labormaterion m en la provizujon I. Ĉi tio okazas kontraŭ la premo p1, kiu daŭre estas en la provizujo I. Tiel oni aldonas la laboron S2 p<sub>2</sub> l2 = p<sub>2</sub>V2. Ĉiuj ŝanĝoj en ĉi tiu izolita sistemo povas realigi nur malprofite de la interna energio de la sistemo. Tial validas la sekvaj rilatoj:
(57)
::<math>U_1 - U_2 = W_t+p_2V_2 - p_1V_1 \,</math>
(58a)
::<math>W_t = (U_1 + p_1V_1) - (U_2+p_2V_2) \,</math>
(58b)
::<math>W_t = (H_1 -H_2 ) \,</math>
La sumo en la krampeto estas:
(59)
::<math>H = U + pV \,</math>
kaj por 1 kg da labormaterio:
(60)
::<math>h = u + pV \,</math>
Oni nomas ĉi tiun grandon – entalpio.
Unu kilogramo da gaso efektivigas en la motoro M ĉi tiun teĥnikan laboron:
(61)
::<math>w_t =h_1 - h_2 \,</math>
h1 – entalpio de labormaterio ĉe la eniro de motoro, kJ/kg<br />
h2 – entalpio de labormaterio ĉe la eliro de motoro, kJ/kg
La efektivigita termodinamika [[laboro (fiziko)|laboro]] egalas al la diferenco de la entalpioj de labormaterioj inter komenco kaj fino de laborprocezo en varmmaŝino.
La laboro tiamaniere gajnita estas ankaŭ nomata la ''daŭra laboro'', ĉar ĝi povas esti daŭre gajnata el al maŝino, kiam oni aldonas al ĝi novajn kvantojn da labormaterio.
Kontraŭe, la volumena laboro:
::<math>w_{1,2} =(u_1 - u_2 ) \,</math>
estas gajnita nur unufoje malprofite de la interna energio.
La entalpio dependas de la interna energio u kaj de la produto p•v. Ambaŭ valoroj de la produto estas stataj funkcioj. Tiel ankaŭ la aliiĝo de entalpio ne dependas de la vojo de procezo, sed nur de la komenca kaj fina statoj de labormaterio, kiu estas difinita de stataj grandoj – p,v,T (fundamentaj stataj grandoj), eventuale u.
La aliiĝo de entalpio du estas la totala diferencialo. Por ĝi validas similaj kiel por u.
::<math> h = f_1(p,v) \,</math>
::<math> h = f_2(v,T) \,</math>
::<math> h = f_3(p,T) \, ,</math>
::<math> dh = \left( \frac {\partial h}{\partial p}\right)_v dp + \left( \frac {\partial h}{\partial v}\right)_p dv \,</math>
::<math> dh = \left( \frac {\partial h}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial h}{\partial v}\right)_p dv \,</math>
::<math> dh = \left( \frac {\partial h}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial h}{\partial p}\right)_T dp \, .</math>
Kiam oni anstataŭigas la valoron dh el la derivita h = u + pv en la ekvacion de la unua termodinamika leĝo
(55)
::<math>dq = du + pdv \,</math>
estas post la anstataŭigo:
::<math>dh = du + pdv + vdp \,</math>
::<math>dh - vdp = du + pdv \,</math>
(63)
::<math>dq = dh - vdp \,</math>
kaj post la integrado:
(63a)
::<math>q_{1,2} =h_2 - h_1 - \int_{p_1}^{p_2} vdp \,</math>
La kamparo de la ekvacioj (63) kaj (56)
(63)
::<math>dq = dh - vdp \,</math>
(56)
::<math>dq = c_pdT - vdp \,</math>
resultigas la sekvan ekvacion:
(64)
::<math> dh = c_pdT \, \ .</math>
Kiam oni aldonas la varmon al la ideala gaso dum la konstanta premo, la ekvacio (63) plisimpliĝas jene:
::<math>p = konst \,</math>
::<math> dp = 0 \,</math>
:::::<math>dq = dh - vdp \,</math>
:::::<math>dq = dh = c_pdT \, ,</math>
kie c<sub>p</sub> estas la [[varmokapacito]] de la substanco sub konstanta premo.
(65)
::<math>q_{1,2} =h_2 - h_1 = c_p(T_2-T_1) = c_p(t_2-t_1) \,</math>
Do, la entalpio estas la varmo aldonita al 1 kg da ideala gaso dum la konstanta premo pro la varmigo ekde la temperaturo T1 al la temperaturo T2.
Oni kutime elektas kiel fundamentan kaj ekan entalpion la entalpion rilatantan al la temperaturo 0 oC kaj al la premo 1 bar. Oni ne bezonas koni la absolutan entalpion. En ĉi tia kazo, ĉiuj ekvacioj plisimpliĝas:
h0 = 0 – dum la temperaturo 0 oC kaj la premo 1 bar <br />
t0 = 0 oC
::<math>h - h_0 = c_p(t-t_0) = q \,</math>
Tial estas:
(65a)
::<math>h = c_pt \, \ .</math>
<!--
====La bildigo de procezoj en p – v diagramo====
'''''1) Volumena laboro'''''
::<math>dq = 0 \,</math>
::<math>w_{1,2} =u_1 - u_2 = \int_1^2 pdv \,</math>
[[Dosiero:Volumena laboro.GIF]]
La areo 1-2-c-d reprezentas la volumenan laboron.
'''''2) Termodinamika laboro'''''
::<math>dq = 0 \,</math>
::<math>w_t =h_1 - h_2 = \int_1^2 vpd \,</math>
[[Dosiero:Teknika laboro.GIF]]
La areo 1-2-b-a reprezentas la teknikan laboron.
-->
==Inverseblaj kaj neinverseblaj procezoj==
Oni dividas la termodinamikajn procezojn en du grupojn:
1) la unua estas pri inverseblaj procezoj ,<br />
2) la dua estas pri neinverseblaj procezoj.
La inverseblaj procezoj
La inversebla ŝanĝo estas tia procezo, en kiu la sistemo transpasas nur ekvilibrajn statojn. La procezo efektiviĝas senfine malrapide. La gaso estas sen ena kaj ekstera frotado.
La materio estas en ekvilibra stato, kiam estas en ĉiu loko de ĝia volumeno la sama premo kaj la sama temperaturo. Oni memkompreneble eligas la konsideron de brulado, ĉar dum brulado la materio substance ŝanĝiĝas. Ĉi tiu procezo apartenas al sfero de [[ĥemio]].
Post la plenumiĝo de ĉi tiuj kondiĉoj, povas la inverseblaj procezoj – en ambaŭ direktoj – okazi. Dum la rea procezo trapasas la materialo la samajn statojn al sia komenca kaj fina statoj.
La neinverseblaj procezoj
Realaj gasoj, kies unuopaj maseroj interfrotiĝas, povas efektivigi nur neinverseblajn procezojn. La gasa labormaterio ne trapasas ekvilibrajn statojn. Ja, ĉiu procezo okazas nur tiam, kiam la materio volas atingi ekvilibrecon. Tial oni ne povas por ĉi tiuj procezoj de realaj gasoj uzi la [[ekvacio de stato|statan ekvacion]]. La materio ne revenas al sia komenca stato sed ĝi emas atingi ion daŭran ekvilibran staton forlasante sian neekvilibrecon.
====Fundamentaj inverseblaj procezoj de ideala gaso====
La termodinamikaj procezoj estas la stataliĝoj de la gaso, kiu estas kaŭzitaj per la alkonduko aŭ forkonduko de energio al la gaso.
La fundamentaj termodinamikaj procezoj de [[ideala gaso]] estas tiaj aliiĝoj, kiuj limigas tutajn aliiĝzonojn indikante ilin per siaj ekstremaj ecoj.
La fundamentaj termodinamikaj procezoj estas:
1) la [[izovolumena procezo|izoĥora procezo]] – procezo dum la konstanta volumeno (samvolumena procezo)
2) la [[izoprema procezo|izobara procezo]] – procezo dum la konstanta premo (samprema procezo)
3) la [[izotemperatura procezo|izoterma procezo]] – procezo dum la konstanta temperaturo (samtemperatura procezo)
4) la [[adiabata procezo]] – procezo sen iu alkonduko aŭ forkonduko de la varmo (senvarminterŝanĝa procezo)
5) la [[politropa procezo]] – procezo difinita per la rilato: <math>pv^n = konst</math>.
'''''1) La izoĥora procezo'''''
La izoĥora procezo okazas, kiam oni alkondukas aŭ forkondukas la varmon al la gaso dum ĝia konstanta volumeno.
::<math>v = konst \,</math>
::<math>dv= 0 \,</math>
<!--[[Dosiero:Izohora procezo.GIF]]-->
Laŭ la stata ekvacio pv = rT validas:
::<math>p_1v_1 = rT_1 \ \ \ \ - \,</math> por la komenca stato
::<math>p_2v_2 = rT_2 \ \ \ \ - \,</math> por la fina stato .
Do
(66)
::::<math>\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1} \, \ ,</math>
dum la izoĥora procezo estas la premo proporcia al la absoluta temperaturo. La alkondukita varmo estas:
::<math>dq = du + pdv \,</math>
::<math>dv = 0 \,</math>
::<math>dq = du = c_vdT \,</math>
(67)
::<math>q_{1,2} = c_v(T_2 - T_1) = c_v(t_2 - t_1) =u_2 - u_1 \,</math>
La alkondukita varmo plialtigas la internan energion de gaso.
La volumena laboro dum la izoĥora procezo ne efektiviĝas – ĝi ne ekzistas:
::<math>da_v = pdv \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v = konst \,</math>
::<math>w_{1,2} = \int_{v_1}^{v_2}pdv \ \ \ \ dv = 0 \,</math>
::<math>w_{v_{1,2}} = 0 \, ,</math>
kie ''w<sub>v</sub>'' estas la volumena laboro.
'''''2) La izobara procezo'''''
La izobara procezo okazas, kiam oni alkondukas aŭ forkondukas la varmon al la gaso dum ĝia konstanta premo.
<!--[[Dosiero:Izobara procezo.GIF]]-->
El la stata ekvacio, validas ĉi tiuj rilatoj:
::<math>p = konst \,</math>
::<math>p_1 = p_2 = p \,</math>
::<math>p_1v_1 = rT_1 \ \ \ \ - \,</math> por la komenca stato
::<math>p_2v_2 = rT_2 \ \ \ \ - \,</math> por la fina stato .
Do
(68)
::::<math>\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1} \, \ ,</math>
dum la izobara procezo estas la volumeno proporcia al la temperaturo. Oni povas ankaŭ ĉi tiun rilaton esprimi jene, per:
::<math>v = \frac{1}{\rho} \,</math>
''v'' – la [[volumeno]] de 1 kg da gaso [m<sup>3</sup>/kg],<br />
ρ – la [[specifa maso]] de gaso [kg/m<sup>3</sup>].
(68a)
::<math> \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{T_2}{T_1} \, \ :</math>
la specifaj masoj de gaso estas inverse proporciaj al la absolutaj temperaturoj dum la izobara procezo.
La volumena laboro dum la izobara procezo estas:
(69)
::<math> w_{v_{1,2}} = \int_{v_1}^{v_2} pdv = p\int_{v_1}^{v_2} dv = p(V_2 - V_1) \, .</math>
Kiam oni anstataŭigas en ĉi tiu resulto la esprimon '''pv''' pere de esprimo rT laŭ la stata ekvacio, oni ekhavas jenan formon:
::<math> w_{v_{1,2}} = r(T_2-T_1) \, \ .</math>
Por la plivarmigo de la diferenco je <math>1 ^o</math>C validas:
::<math> w_v = r \, \ .</math>
Laŭ ĉi tiu ekvacio, la [[universala gaskonstanto]] r egalas al la volumena laboro, kiu efektivigas 1 kg da gaso plivarmigita je unu grado de Celsius dum la konstanta premo.
Laŭ la ekvacio esprimanta la rilatojn de la unua termodinamika teoremo validas:
::<math>p = konst \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dq = c_v(dT + pdv) \,</math>
::<math>dp = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dq = c_vdT + rdT \,</math>
::<math>pdv + vdp = rdT \ \ \ \ dq = (c_v + r)dT \,</math>
::<math>pdv = rdT \quad \ \ \ \ \ \ \ \ dq = c_p dT \,</math>
::::::::::<math>dq = dh \,</math>
(70)
::<math>q_{1,2} = c_p(T_2 - T_1) = h_2 - h_1 \, \ .</math>
La tuta varmo por la plivarmigo de m kg da gaso estas:
(70a)
::<math>Q_{1,2} = mc_p(T_2 - T_1) = m( h_2 - h_1) = H_2 - H_1 \,</math>
La ekvacio vidigas, ke la alkondukita varmo dum konstanta premo plialtiĝas la entalpion de gaso.
La izobara procezo troviĝas en praktiko ekzemple en kaldrono dum varmigo de akvo, dum kondensado, dum vaporigado kaj dum varmigego de vaporo. Sed ni devas konscii, ke dum ĉi tiuj, en unu ciklo, kunigitaj procezoj ekzistas kaj devas ekzisti la premdiferenco inter la komenca kaj la fina statoj.
<!--Kiel la komencan staton oni konsideras la eniron de la labormaterio en la kaldronon, kaj la finan de ciklo oni pozicias en ĉi tiu kazo malantaŭen de la turbino – en la kondensadon. konsiderante la unuopajn procezojn en aparaj ekipaĵoj kiel izobarajn, oni nur plisimpligas en limoj, kiu estas por la precizeco de kalkulo kaj konstruo akcepteblaj.-->
'''''3) La izoterma procezo'''''
La izoterma procezo okazas, kiam oni alkondukas aŭ forkondukas la varmon al la gaso dum ĝia konstanta temperaturo.
<!--[[Dosiero:Izoterma procezo.GIF]]-->
La rilatoj por la izoterma procezo laŭ la stata ekvacio estas:
::<math>p_1v_1 = rT \,</math>
::<math>p_2v_2 = rT \,</math>
::<math>\frac{p_2v_2}{p_1v_1} = 1 \,</math>
aŭ
::<math>p_1v_1 = p_2v_2 = pv = konst \,</math>
aŭ
::<math>\frac{p_1}{p_2} =\frac{v_2}{v_1} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \,</math>
La ekvacio pv = konst esprimas, ke la produto de premo kaj volumeno estas konstanta, ke inter la premo kaj volumeno estas inversa proporcieco. La ekvacio de izoterma kurbo – izotermo – estas samtempe la ekvacio de orta egalaksa [[hiperbolo]] kun asimtotoj kuŝantaj en la aksoj x kaj y (ĉi tie ''v'' kaj ''p'').
Laŭ la ekvacio esprimanta la rilatojn de la unua termodinamika teoremo validas:
::<math>dT = 0 \,</math>
::<math>du = 0 \,</math>
::::<math>dq = du + pdv = c_vdT + pdv \,</math>
::::<math>dq = du + pdv = dw \, \ . </math>
Tio signifas, ke dum la izoterma procezo la ena kineteika energio de gaso ne ŝanĝigas. Ĉiu alkondukita varmo transformiĝas en la laboron.
::<math> p = \frac{rT}{v} \,</math>
::<math>dq = dw = rT\frac{dv}{v} \,</math>
post la integrado:
(72)
::<math>q_{1,2} =w_{1,2} = rT\int_{v_1}^{v_2}\frac {dv}{v} = rT \ln \frac {v_2}{v_1} \,</math>
aŭ ankaŭ:
(72a)
::<math>q_{1,2} = w_{1,2} = rT \ln \frac {p_1}{p_2} \, \ .</math>
'''''4) La adiabata procezo'''''
Dum la adiabata procezo oni nek alkondukas nek forkondukas la varmon al labormaterio. La procezo efektiviĝas en la izolita sistemo. La varminterŝanĝo kun ĉirkaŭaĵo estas malebligita – ĝi ne ekzistas.
La ekvacio de la unua termodinamika teoremo havas la sekvan formon:
::<math>q = konst \,</math>
::<math>dq = 0 \,</math>
::::<math>dq = 0 = c_vdT + pdv \,</math>
El la diferencialigita stata ekvacio oni anstataŭigas dT
::::<math>dT = \frac {1}{r}(pdv + vdp) \,</math>
Pro tio, ke
::<math>r = c_p - c_v \, \ ,</math>
post la anstatŭigo sekvas:
::::<math> \frac {c_v}{r}(pdv + vdp) + pdv = 0 \,</math>
::::<math>pdv + vdp + \frac {r }{c_v} pdv = 0 \,</math>
::::<math>pdv + vdp + \frac {c_p - c_v}{c_v} pdv = 0 \,</math>
::::<math>pdv + vdp + (\kappa - 1) pdv = 0 \, \ ,</math>
kun
::<math> \kappa = \frac{c_p}{c_v} \,</math>
do
::::<math>vpd +\kappa pdv = 0 \quad \, \ ,</math>
kaj post divido per pv
::::<math>\frac {dp}{p} + \kappa \frac {dv}{v} = 0 \, \ ,</math>
kies integralo estas:
::<math>\ln p + \kappa \ln v = \ln konst \,</math>
(73)
::<math>pv^\kappa = konst \,</math>
aŭ
::<math>p_1v_1^\kappa = p_2v_2^\kappa = pv^\kappa = konst \, \ .</math>
La ekvacio (72) estas la ekvacio de la adiabata kurbo – adiabato.
La dependeco inter la fundamentaj stataj grandoj p,v,T estas jena:
(73a)
::<math>\frac{p_1}{p_1} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^\kappa \,</math>
Ĉi tio estas la alia formo de la ekvacio (73). Laŭ la stata ekvacio validas:
::<math>p_1v_1 = rT_1 \,</math>
::<math>p_2v_2 = rT_2 \,</math>
::<math>\frac{p_2v_2}{p_1v_1} = \frac{T_2}{T_1} \, </math>
Post la anstataŭigo de <math>\frac{p_1}{p_2}</math> per <math>\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^\kappa </math> estos:
(73b)
::<math>\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\kappa -1} \, </math>
Post la anstataŭigo de <math>\frac{v_1}{v_2}</math> per <math>\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}} </math> ekestos:
(73c)
::<math>\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}} \, </math>
Dum la aiabata procezo efektiviĝas la volumena laboro malprofite por la ena energio de gaso. Dum la adiabata kunpremo la temperaturo plialtiĝas. Dum la adiabata ekspansio la temperaturo malplialtiĝas.
La rilatoj por la laboro havas la dekvan formon:
::<math>dq = 0 = du + dw \,</math>
::<math>dw = -du \,</math>
Post la integrado ekestos:
::<math>w_{1,2} -(u_2 - u_2) = u_1 - u_2 = c_v(T_1 - T_2) = c_vT_1\left(1 - \frac{T_2}{T_1}\right) \,</math>
Kiam oni anstataŭigas por <math>T_1=\frac{p_1v_1}{r} </math> el la stata ekvacio kaj por
::<math>\frac{T_2}{T_1}= \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}} \, </math>
el la ekvacio (72a) oni ricevos:
::<math>w_{1,2} = \frac {c_v}{r}p_1v_1\left[1-\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}\right] \,</math>
Sed <math> \frac{c_v}{r}=\frac{1}{\kappa -1} </math> kaj tial oni povas skribi:
(74)
::<math>w_{1,2} = \frac{1}{\kappa -1} p_1v_1\left[1-\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}}\right] \,</math>
;Komparo de la izotermaj kaj adiabatikaj kurboj
<!--[[Dosiero:Adiabato kaj izotermo.GIF]]-->
La komparo de proceztendencoj de izoterma kaj adiabatika kurboj estas grava, ĉar ambaŭ kurboj reprezentas ekstermaj kazojn de termodinamikaj ŝanĝoj, kaj ili dividas diagramojn en tipajn partojn. La rilatoj de la adiabato kaj izoterma esprimitaj per sekvaj ekvacioj
<math> \frac{p_1}{p_2} = \left (\frac{v_2}{v_1}\right)^\kappa \, </math> (adiabato)
kaj
<math> \frac{p_1}{p_2} = \frac{v_2}{v_1} \ \ \ \ \, ,</math> (izotermo)
klare montras, ke la sama volumenpligrandiĝo kaŭzas dum la ekspansio de la adiabata procezo pligradan malaltigon de la premo ol dum la izoterma ekspanzio.
El analizo de ĉi tiuj kurbekvacioj ankaŭ rezultas, ke la adiabata kurbo havas pli altiĝantan tendencon ol la izoterma.
'''''5) La politropa procezo'''''
La izoterman kaj adiabatan procezojn ne povas praktike reprezenti neidealajn procezoj, al kiuj oni klopodas per alproksimigoj. La realaj procezoj en piŝtaj varmmaŝinoj sekvas laŭ kurboj procezoj situitaj inter inter la izotermo kaj adiabato. oni nomas ĉi tiujn kurbojn – [[politropa procezo|politropoj]]. Matematike oni esprimas la politropajn procezojn per ekvacioj por la ideala gaso jene:
(75)
::<math>pv^n = konst \,</math>
aŭ
(75a)
::<math>vpd + npdv = 0 \,</math>
La ekvacio (75a) ekestis post la derivado de la ekvacio (75):
La ekvacio (75a) pv<sup>n</sup> = konst estas la ekvacio de politropaj kurboj, kiujn oni povas desegni en la koordinata sistemo p-v.
Kiam oni subtrahas la ekvacion (75a) de la derivaĵo de la [[ekvacio de stato]], oni ricevas la sekvan rezulton:
::<math>vpd + npdv = 0 \,</math>
::<math>vpd + pdv = rdT \,</math>
::<math>(n-1)pdv = - rdT \, \ .</math>
Ĉi tiun rezulton oni uzos por la anstataŭigo en la ekvacio de la varmo:
::<math>dq = du + pdv \,</math>
::<math>dq = c_vdT - \frac{rdT}{n-1} = \left(c_v - \frac{r}{n-1}\right)dT = \left(c_v - \frac{c_p-c_v}{n-1}\right)dT \, </math>
(76)
::<math>dq = c_v \frac{n - \kappa}{n-1} \, \ ,</math>
kie c<sub>v</sub> estas la [[varmokapacito]] laŭ konstanta volumeno.
La esprimo
::::<math> c_v \frac{n - \kappa}{n-1} = c_n \,</math>
:::::::::nomiĝas ''la specifa varmo de la politropa procezo''.
Tial la ekvacio (76) plisimpliĝas jene:
(76a)
::<math>dq = c_ndT \,</math>
kaj post la integrado estas:
(76b)
::<math> q_{1,2} = c_n(T_2 - T_1) = c_n(t_2 - t_1) \,</math>
La specifa politropa varmo havas dum ordinaraj ŝanĝiĝoj, kies la kurbo (la politropo) situas en p – v diagramo inter la izotermo kaj adiabato, la [[eksponento]] n en ĉi tiuj limoj
::<math> 1 <n<\kappa \, \ .</math>
El la ekvacio por <math> c_n = c_v \frac{n - \kappa}{n-1} </math>
rezultas, ke la specifa politropa varmo estas negativa, tio signifas, ke dum la ekspansio oni devas aldoni la varmon al la gaso kaj dum la kunpremado forkonduki ĝin.
Oni povas ĝenerale ĉiujn procezojn de ideala gaso konsideri, kiel politropajn procezojn. En ĉi tiu kazo havu la eksponento valorojn ekde –∞ ĝis +∞.
Tial validas, ke
la izobaro estas la politropo kun n = 0; <math>pv_0 = p = konst </math><br />
la izoĥoro estas la politropo kun n = ∞; <math>p^{\frac{1}{n}}v_1 = p^0v = v = konst </math> <br />
la izotermo estas la politropo kun n = 1; <math>pv = v = konst </math><br />
la adiabato estas la politropo kun n = κ; <math>pv^\kappa = konst</math>.
Kiam oni donas al ĉiujn valorojn anstataŭ la eksponento n en la ekvacion de la specifa politropa varmo,
::<math> c_n = c_v \frac{n - \kappa}{n-1} </math>
:::tiam oni ricevos:
por la izobara procezo – n = 0; <math> c_n = c_v \frac{0 - \kappa}{n-1} = c_v\kappa = c_p </math>
por la izoĥora procezo – n = ∞; <math> c_n = c_v \frac{\mathcal{1} - \kappa}{n-1} = c_v.1 = c_v </math>
por la izoterma procezo – n = 1; <math> c_n = c_v \frac{1 - \kappa}{1-1} = c_v \frac{1 - \kappa}{0} = \mathcal{1} </math>
por la adiabata procezo – n = κ; <math> c_n = c_v \frac{\kappa - \kappa}{\kappa-1} = c_v \frac{0}{\kappa-1} = 0 </math>
<!--La kurboj de fundamentaj termodinamikaj procezoj desegnataj kiel politropaj kun apartenata eksponento n en la p – v diagramo:
[[Dosiero:Politropo.GIF]]-->
Por la politropo validas la samaj matematikaj rilatoj kiel por la adiabato.
La dependeco de stataj grandoj estas:
(77)
::<math> \frac{p_2}{p_1} = \left (\frac{v_1}{v_2}\right)^n \,</math>
(78)
::<math> \frac{T_2}{T_1} = \left (\frac{v_1}{v_2}\right)^{n-1} \,</math>
(79)
::<math> \frac{T_2}{T_1 }= \left (\frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{n-1}{n}} \,</math>
La volumena laboro dum la politropa procezo estas:
(80)
::<math> w_v = \frac{1}{n-1}p_1v_1 \left [1- \left(\frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{n-1}{n}}\right] \,</math>
Laŭ la ekvacio de varmo estas la laboro:
::<math>dq = du + dw \,</math>
::<math>dw = dq - du = c_ndT - c_vdT = c_v^{\frac{n-\kappa}{n}}dT - c_vdT = -c_v\frac{\kappa -1}{n-1}dT \,</math>
::<math> w = c_v\frac{\kappa -1}{n-1}T \left (1-\frac{T_2}{T_1}\right) \, \ ,</math>
samtempe validas:
::<math> c_v(\kappa -1) = r \, \ , </math>
tial oni povas skribi:
::<math> w = \frac{r}{n-1}T_1 \left (1-\frac{T_2}{T_1}\right)\, \ ; </math>
kaj post la anstataŭigo de T2/T1 ekestos:
::<math> w = \frac{1}{n-1}rT_1 \left [1- \left(\frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{n-1}{n}}\right] \, \ .</math>
Ĉi tio estas la alia formo de la ekvacio (80), ĉar p1v1 = rT1 laŭ la stata ekvacio.
Kiam oni konas du punktojn de politropo, oni povas alkalkuli la politropan eksponenton n, uzante la sekvan ekvacion:
::<math>\left (\frac{v_2}{v_1}\right)^n = \frac{p_1}{p_2} \,</math>
kaj logaritmigante ĝin, oni ricevas:
::<math>n\log \frac{v_2}{v_1} = \log \frac{p_1}{p_2} \,</math>
(81)
::<math>n= \frac {\log \frac{p_1}{p_2}}{\log \frac{v_2}{v_1}} \, \ .</math>
La ekvacio de la politropo post la logaritmigado ricevas la formon de la linera ekvacio (82):
::<math> pv^n = konst \,</math>
(82)
::<math> \log p + n \log v = konst \, \ .</math>
La eksponento n estas la tangento de la angulo α, kiu estas inter la politropo kaj la akso x (log V):
::<math>n= tg \alpha = \frac{\log p_1 - \log p_2}{\log v_2 - \log v_1}\,</math>
La p – v diagramo kun desegnitaj fundamentaj termodinamikaj procezoj plisimpliĝas en logaritma koordinata sistemo. La kurboj ŝanĝiĝas en rektajn liniojn.
<!--[[Dosiero:Logp logv.GIF]]-->
====La termodinamikaj ŝanĝiĝoj de la reala gasoj kaj la aliiĝanta specifa varmo de la gaso====
Rilatoj inter la stataj grandoj dum la termodinamikaj ŝanĝiĝoj por la ideala gaso estas tre simplaj, ĉar oni konsideras la [[specifa varmokapacito|specifajn varmojn]] dum la tuta ŝanĝiĝo kiel konstantajn, en ĉi tiu kazo eĉ la eksponento n konstanta.
Sed en la realeco la specifaj varmoj dependas de la temperaturo:
::<math> c = a + bt \,</math>
Memkompreneble ankaŭ la kvociento de specifaj varmoj dependas de la temperaturo:
::<math> \frac{c_p}{c_V} = \kappa \,</math>
::<math> \kappa = \kappa_0 -\alpha T \,</math>
Post ĉi tiu precizigo de la ekvacioj por la ideala gaso la rilatoj rimarkinde alproksimiĝas al la realeco sed tamen ĉi tie ia neprecizeco restas jam pro tio, ĉar oni ja baziĝas sur la stata ekvacio de ideala gaso.
==Termikaj cikloj kaj ties termikaj efikecoj==
La varmciklo estas aro da kelkaj sinsekvaj procezoj, post kiuj la labormaterio denove atingas sian komencan elirpunkton.
La varmciklo efektiviĝas dum sia ekspansio sur tuta alia vojo al dum sia kunpremo. La senco de la varmciklo estas en la gajnado de laboro malprofite de varmo, aŭ dum la mala kaj rea procezciklo ĝi estas en la gajnado de varmo malprofite de laboro.
[[Sadi Carnot]] la unua ekkomprenis la sencon de la varmcikloj (en la jaro [[1824]]), kaj detale esploris la pli la efikan ciklon nun nomatan [[ciklo de Carnot]].
<!--
La laboro estas pergrate desegnita en la p – r diagramo kiel areo, kiu estas la diferenco de areoj de la alkondukita kaj forkondukita varmoj.
La alkondukita varmo estas bildigita per la areo
::<math> 1-I-2-V_2-V_1 = a_I \,</math>
La forkondukita varmo estas bildigita per la areo
::<math> 2-II-1-V_1-V_2 = a_{II} \,</math>
Kiam la ciklo realiĝas en la cirkuldirekto de horloĝmontriloj, tiam la suma laboro de la tuta ciklo estas ĉiam pozitiva. La kunpremkurbo de la ciklo kuŝas sun la ekspansia kurbo.
Dum la ekspansio oni alkondukas al la gaso la varmon q1; dum la kunpremo oni forkondukas la varmon q2.
Laŭ la unua termodinamioka teoremo validas la fundamenta ekvacio en sekva formo:
(83)
::<math> \oint dq = \oint du + \oint pdv \,</math>
<math> \oint \,</math>- la integralo por la tuta fermita ciklo
Kiam la labormaterio revenas en sian komencan elirpunkton, tiam la tita ŝanĝiĝo de la ena energio egalas al nulo:
::<math> \oint du = 0 \,</math>
kaj el la ekvacio (83) restos:
::<math> \oint dq = \oint pdv = \oint da + \,</math>
::<math> \oint da = a_0 = a_I - a_{II} \,</math>
(84)
::<math> \oint dq = q_1 - \left| q_2 \right| \,</math>
q1 – la sumo de ĉiuj alkondukitaj varmoj al unu kilogramo da labormaterio [kJ/kg]
q2 – la sumo de ĉiuj forkondukitaj varmoj al unu kilogramo da labormaterio [kJ/kg]
-->
====La termika efikeco====
La proporcio de la varmo eluzita por ŝanĝo en la mekanikan laboron al la alkondukita varmo servas por la valorigo de la varmŝanĝa rilato. Oni nomas ĝin ''termika efikeco'':
(85)
::<math> \eta_t= \frac{q_1 - \left| q_2 \right|}{q_1} = \frac {w_0}{q_1} = 1 - \frac{\left| q_2 \right|}{q_1} \,</math>
Oni povas ankaŭ el la alkondukita varmo elkalkuli la laboron de unu ciklo, se oni konas la efikecon de maŝino:
::<math> w_0 =\eta_t q_1 \,</math>
q1 – la alkondukita varmo por unu kilogramo da labormaterio dum unu ciklo [kJ/kg]
w0 – la laboro de unu kilogramo da labormaterio efektivigita dum unu ciklo [kJ/kg].
<!--
;La rea ciklo
<!-- Aneksprezentsugesto helpo : http://eo.wikipedia.org/wiki/Helpo:Referencoj kaj piednotoj -->
== Referencoj ==
<references/>
== Vidu ankaŭ ==
| |||