Eŭklida spaco: Malsamoj inter versioj
| [nekontrolita versio] | [nekontrolita versio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Umberto (diskuto | kontribuoj) iom pli da informo |
Maksim (diskuto | kontribuoj) Neniu resumo de redakto |
||
Linio 1:
En [[matematiko]], '''eŭklida spaco''' estas ĝeneraligo de la 2- kaj 3-dimensiaj spacoj kiujn studis [[Eŭklido]]. La ĝeneraligo aplikas eŭklida koncepto de [[distanco]], kaj la rilatantajn konceptoj de [[longo]] kaj [[angulo]], al [[Koordinato|koordinatsistemo]] kiu konsistas el nombraj [[dimensio]]j. Ĝi estas la "normo" ekzemplo por finidimensia [[Reela nombro|reela]] [[ena produto|ena produta]] spaco.
Eŭklida spaco estas finit-dimensiona vektora spaco kun [[skalara produto]]▼
Eŭklida spaco estas aparta [[metrika spaco]] kiu kapabligas la esploron de [[Topologio|topologiaj]] aferoj kiel [[Kompakta spaco|kompakteco]]. Ena produta spaco estas ĝeneraligo de Eŭklida spaco. Ambaŭ enaj produtaj spacoj kaj metrikaj spacoj estas esploritaj de [[funkcionala analitiko]].
Eŭklida spaco ludas rolon en la difino de [[dukto]] kiu kunigas konceptojn de ambaŭ [[eŭklida geometrio]] kaj [[neeŭklida geometrio]]. Unu matematika motivado por difinanta distanca funkcio estas ebleco por difini [[Pilko (matematiko)|malfermitan pilkon]] ĉirkaŭ punktoj en la spaco. Ĉi tiu fundamenta koncepto similigas [[diferenciala kalkulo|diferencialan kalkulon]] inter eŭklida spaco kaj aliaj duktoj. Diferenciala geometrio enkondukas tian diferencialan kalkulo, kaj ankaŭ teknikon de movebla, loka eŭklida spaco, por esplori propraĵojn de neeŭklidaj duktoj.
==(Reala, Reela) koordinata spaco==
Estu '''R''' [[Kampo (algebro)|kampo]] de [[Reela nombro|reelaj nombroj]]. Por ĉiu nenegativa [[entjero]] ''n'', la spaco de ĉiuj ''n''-[[opo]]j de reelaj nombroj formas ''n''-dimensian [[vektora spaco|vektoran spacon]] super '''R''' nomitan kiel '''reela koordinata spaco''' kaj skribata kiel '''R'''<sup>''n''</sup>.
Eŭklida spaco de dimencio ''n'' estas [[izomorfeco|izomorfa]] al la spaco ''R<sup>n</sub>'' de la ''n''-opoj de [[reela nombro|reelaj nombroj]].
▲Eŭklida spaco estas finit-dimensiona vektora spaco kun [[skalara produto]].
La skalara produto en tia spaco estas la sumo de la produtoj de la samdimensiaj koordinatoj:
<math>x \cdot y ~ = ~ \sum_{i=0}^{n} x_i y_i</math>
<!--
Ero de '''R'''<sup>''n''</sup> estas skribita '''x''' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>) kie ĉiu ''x''<sub>''mi''</sub> estas reela nombro. La vektora spaco (operacioj, operacias) sur '''R'''<sup>''n''</sup> estas difinita per
:<math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)</math>
:<math>a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n)</math>
(Reala, Reela) koordinata spaco '''R'''<sup>''n''</sup> venas kun [[norma bazo]]:
:<math>\mathbf{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0)</math>
:<math>\mathbf{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\mathbf{e}_n = (0, 0, \ldots, 1)</math>
Ajna vektoro en '''R'''<sup>''n''</sup> povas tiam esti skribita en la formo
:<math>\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i</math>
(Reala, Reela) koordinata spaco estas la pratipa ekzemplo de (reala, reela) ''n''-dimensia vektora spaco. Fakte, ĉiu (reala, reela) ''n''-dimensia vektora spaco ''V'' estas izomorfia al '''R'''<sup>''n''</sup>. Ĉi tiu izomorfio estas ne kanona tamen. Elekto de izomorfio estas ekvivalento al elekto de [[Bazo (lineara algebro)|bazo]] por ''V'' (per (aspektanta, rigardanta) je la bildo de la norma bazo por '''R'''<sup>''n''</sup> en ''V''). La kaŭzo por laborante kun ajnaj vektoraj spacoj anstataŭ '''R'''<sup>''n''</sup> estas (tiu, ke) ĝi estas ofte preferinda al laboro en ''koordinato-libera'' maniero (kio estas sen elektanta (preferis, pliamita) bazo).
==Eŭklida strukturo==
Eŭklida spaco estas pli ol (justa, ĵus) (reala, reela) koordinata spaco. Por ke fari [[Eŭklida geometrio]] unu (bezonas, bezonoj) povi (konversacii, konversacio, prelego) pri la [[distanco]] inter punktoj kaj la [[Angulo|anguloj]] inter linioj aŭ (vektoroj, vektoras). La natura vojo en kiu al fari ĉi tiu estas al prezenti kio estas (nomita, vokis) ena (produkto, produto) aŭ ''skalara produto'' sur '''R'''<sup>''n''</sup>. Ĉi tiu (produkto, produto) estas difinita per
:<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.</math>
La skalara produto de (ĉiu, iu) du (vektoroj, vektoras) '''x''' kaj '''y''' donas reela nombro. Ĉi tiu (produkto, produto) permesas ni al difini la "longo" de vektoro ''x'' en jena vojo
:<math>\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}</math>
Ĉi tiu longa funkcio (verigas, kontentigas) la postulis propraĵoj de [[Normo (matematiko)|normo]] kaj estas (nomita, vokis) la '''Eŭklida normo''' sur '''R'''<sup>''n''</sup>. La (eno) angulo θ inter '''x''' kaj '''y''' estas tiam donita per
:<math>\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>
kie cos<sup>−1</sup> estas la _arccosine_ funkcio.
Fine, unu povas uzi la normo al difini distanca funkcio (aŭ [[Metriko (matematiko)|metriko]]) sur '''R'''<sup>''n''</sup> en jena maniero
:<math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.</math>
La formo de ĉi tiu distanca funkcio estas bazita sur la [[Pitagora teoremo]], kaj estas (nomita, vokis) la '''Eŭklida metriko'''.
(Reala, Reela) koordinata spaco kaj ankaŭ la pli supre Eŭklida strukturo (skalara produto kaj la asociita normo kaj metriko) estas (nomita, vokis) '''Eŭklida spaco''' ofte signifis per '''E'''<sup>''n''</sup>. (Multaj (aŭtoroj, aŭtoras) referi al '''R'''<sup>''n''</sup> sin kiel Eŭklida spaco, kun la Eŭklida strukturo estante komprenita). La Eŭklida strukturo sur '''E'''<sup>''n''</sup> donas ĝi la strukturo de ena (produkto, produto) spaco (fakte [[Hilberta spaco]]), [[normigita vektora spaco]], kaj [[metrika spaco]].
==Alternativa difino==
Fakte, Eŭklida spaco '''E'''<sup>''n''</sup> estas (reala, reela) n-dimensia [[afina spaco]] kiel ĝia korespondanta lineara aŭ [[vektora spaco]] ( izomorfia al la lineara aŭ vektora spaco '''R'''<sup>''n''</sup> ) havas ena (produkto, produto).
==Eŭklida topologio==
Ekde Eŭklida spaco estas [[Metrika spaco|metrika spaca]] ĝi estas ankaŭ [[topologia spaco]] kun la natura topologio konkludis per la metriko. La metrika topologio sur '''E'''<sup>''n''</sup> estas (nomita, vokis) la '''Eŭklida topologio'''. Aro estas [[Malfermita aro|(malfermi, malfermita)]] en la Eŭklida topologio [[S.n.s.|se kaj nur se]] ĝi enhavas (malfermi, malfermita) pilko ĉirkaŭ ĉiu de ĝiaj punktoj. La Eŭklida topologio (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster al esti ekvivalento al la (produkto, produto) topologio sur '''R'''<sup>''n''</sup> (konsiderita, konsideris) kiel (produkto, produto) de ''n'' (kopioj, kopias) de la [[reala linio]] '''R''' (kun ĝia norma topologio).
Grava rezulto sur la topologio de '''R'''<sup>''n''</sup>, tio estas malproksime de malprofunda, estas _Brouwer_'s [[invarianto de domajno]]. (Ĉiu, Iu) subaro de '''R'''<sup>''n''</sup> (kun ĝia [[subspaca topologio]]) kiu estas [[homeomorfia]] al alia (malfermi, malfermita) subaro de '''R'''<sup>''n''</sup> estas sin (malfermi, malfermita). Senpera konsekvenco de ĉi tiu estas (tiu, ke) '''R'''<sup>''m''</sup> estas ne homeomorfia al '''R'''<sup>''n''</sup> se ''m'' ≠ ''n'' — intuicie "evidenta" rezulto kiu estas _nonetheless_ malfacila al pruvi.
Eŭklida ''n''-spaco estas la pratipa ekzemplo de ''n''-[[dukto]], fakte, glata dukto. Por ''n'' ≠ 4, (ĉiu, iu) diferencialebla ''n''-dukta tio estas [[homeomorfia]] al '''R'''<sup>''n''</sup> estas ankaŭ _diffeomorphic_ al ĝi. La surprizanta fakto (tiu, ke) ĉi tiu estas ne ankaŭ vera por ''n'' = 4 estis (pruvita, pruvis) per _Simon_ _Donaldson_ en [[1982]]; la (kontraŭekzemploj, kontraŭekzemplas) estas (nomita, vokis) ekzotika (aŭ ''falsi'') 4-(spacoj, kosmoj, spacetoj).
Eŭklida spaco estas ankaŭ sciata kiel ''lineara dukto''. ''m-dimensia lineara subdukto'' de '''R'''<sup>''n''</sup> estas Eŭklida spaco de ''m'' (dimensioj, dimensias) enigita en ĝi (kiel afina subspaco). Ekzemple, (ĉiu, iu) rekto en iu pli alta-dimensia Eŭklida spaco estas 1-dimensia lineara subdukto de (tiu, ke) spaco.
-->
{{komentitaj partoj}}
==Vidu ankaŭ jenon:==
*[[Eŭklida geometrio]]
*[[Eŭklida distanco]]
*[[Minkowski-a spaco]]
[[Kategorio:Eŭklida geometrio]]
[[Kategorio:Lineara algebro]]
[[Kategorio:Topologiaj spacoj]]
[[Kategorio:Normo]]
[[de:Euklidischer Raum]]
Linio 14 ⟶ 71:
[[es:Espacio euclídeo]]
[[fr:Espace euclidien]]
[[he:מרחב אוקלידי]]
[[io:Euklidana spaco]]
[[ja:ユークリッド空間]]
[[ko:유클리드 공간]]
[[pl:Przestrzeń euklidesowa]]
[[ru:Евклидово поле]]
[[zh:欧几里德空间]]
| |||