Asocieca alĝebro: Malsamoj inter versioj
| [nekontrolita versio] | [nekontrolita versio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
e Osteologia movis paĝon Asocieca algebro al Asocieca alĝebro: algebro→alĝebro (algebro estas fako, alĝebro estas strukturo); vd alĝebro |
Gramatikaj korektoj; mapo (en senco de funkcio) → bildigo (vd ekz. NPIV) |
||
Linio 1:
{{polurinda}}
:''Ĉi tiu artikolo estas pri aparta speco de [[vektora spaco]]. Por aliaj uzadoj de la termino "algebro" vidu: algebro (apartigilo).''
En [[matematiko]], '''asocieca algebro''' estas [[vektora spaco]] (aŭ pli ĝenerale, [[modulo (matematiko)|modulo (modela teorio)]]) kiu ankaŭ permesas la multiplikon de vektoroj en [[distribueco|distribueca]] kaj [[asocieco|asocieca]] maniero. Ili estas tial specialaj [[
== Difino ==
Asocieca
▲Asocieca algebro ''A'' super [[Korpo (algebro)|kampo]] ''K'' estas difinita kiel vektora spaco super ''K'' kaj ankaŭ ''K''-[[dulineara operatoro|dulineara multipliko]] ''A'' x ''A'' → ''A'' (kie la bildo de (''x'',''y'') estas skribita kiel ''xy'') tia, ke la [[asocieca leĝo]] validas:
* (''x y'') ''z'' = ''x'' (''y z'') por ĉiuj ''x'', ''y'' kaj ''z'' en ''A''.
Linio 15 ⟶ 14:
* ''a'' (''x y'') = (''a'' ''x'') ''y'' = ''x'' (''a'' ''y'') por ĉiuj ''x'', ''y'' en ''A'' kaj ''a'' en ''K''.
Se ''A'' enhavas [[identa ero|identan eron]], kio estas ero 1 tia ke 1''x'' = ''x''1 = ''x'' por ĉiuj ''x'' en ''A'', tiam ''A'' estas ''''asocieca
Tia
La antaŭvenanta difino ĝeneraliĝas sen iu ajn ŝanĝo al
La ''dimensio'' de la asocieca
== Ekzemploj ==
* La ''n''-per-''n'' [[kvadrata matrico|kvadrataj matricoj]] kun elementoj de la kampo ''K'' formas unuargumentan asociecan
* La [[kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]] formas [[2-dimensia]]n unuargumentan asociecan
* La [[kvaterniono]]j formas [[4-dimensia]]n
* La [[polinomo]]j kun reelaj koeficientoj formas unuargumentan asociecan
* Por donita iun ajn [[banaĥa spaco]] ''X'', la [[kontinua funkcio (topologio)|kontinuaj]] [[lineara operatoro|linearaj operatoroj]] ''A'' : ''X'' → ''X'' formas unuargumentan asociecan
* Por donita iun ajn [[topologia spaco]] ''X'', la kontinua reelo-valoraj (aŭ komplekso-valoraj) funkcioj sur ''X'' formas reelan (aŭ kompleksan) unuargumentan asociecan
* Ekzemplo de ne-unuargumenta asocieca
* La [[
*
==
Se ''A'' kaj ''B'' estas asociecaj
Prenu ekzemple la
== Indekso-libera skribmaniero ==
En la pli supre difino de asocieca
Tio povas esti farita kiel sekvas.
:<math>M: A \times A \rightarrow A</math>
Asocieca
:<math>M \circ (\mbox {Id} \times M) = M \circ (M \times \mbox {Id})</math>
Ĉi tie, la simbolo <math>\circ</math> signifas [[funkcia komponaĵo|funkcian komponaĵon]], kaj ''Id'' estas la identa surĵeto: ''Id(x)=x'' por ĉiuj ''x'' en ''A''. Por vidi la ekvivalenton de la difinoj,
:<math>( M \circ (\mbox {Id} \times M)) (x,y,z) = M (x, M(y,z))</math>
Simile, unuohava asocieca
:<math>\eta: K \rightarrow A</math>
Linio 63 ⟶ 62:
:<math>M \circ (\mbox {Id} \times \eta ) = s = M \circ (\eta \times \mbox {Id})</math>
Ĉi tie, la unua
== Ĝeneraligoj ==
Oni povas konsideri asociecajn
La ''n''
▲Oni povas konsideri asociecajn algebrojn super komuta ringo ''R'': ĉi tiuj estas [[modulo (matematiko)|moduloj]] super ''R'' kaj ankaŭ ''R''-dulineara mapa kiu produktas asociecan multiplikon. En tiu kazo, _unital_ ''R''-algebro ''A'' povas ekvivalente esti difinita kiel ringo ''A'' kun ringa homomorfio ''R''→''A''.
== Koalĝebro ==
▲La ''n''-per-''n'' matricoj kun [[Entjero|entjeraj]] elementoj formas asociecan algebron super la entjeroj kaj la polinomoj kun koeficientoj en la ringo '''Z'''/''n'''''Z''' (vidu [[modula aritmetiko]]) formas asociecan algebron super '''Z'''/''n'''''Z'''.
Asocieca
▲Asocieca unuargumenta algebro super ''K'' estas bazita sur [[strukturkonservanta transformo]] ''A''×''A''→''A'' havanta 2 enigojn) (multiplikanto kaj multiplikato) kaj unu eligi (produto), kaj ankaŭ strukturkonservanta transformo ''K''→''A'' identiganta la skalaraj oblojn de la multiplika idento. Tiuj du strukturkonservantaj transformoj povas esti dualigitaj uzante kategorian duvarianteco per dorsflankigo de ĉiuj sagoj en la [[komuta figuro|komutaj figuroj]] kiuj priskribas la algebrajn [[aksiomo]]jn; ĉi tiu difinas la strukturon de [[kunalgebro]].
▲Estas ankaŭ abstrakta nocio de F-kunalgebro.
== Prezentoj ==
[[Grupa prezento]] de
Notu, tamen, ke estas
Altrudi tian aldonan strukturon tipe kondukas al la ideo de [[
▲[[Grupa prezento]] de algebro estas lineara surĵeto <math>\rho:A\rightarrow gl(V)</math> de ''A'' al la ĝenerala lineara algebro de iu vektora spaco (aŭ modulo (modela teorio)) ''V'', kiu konfitas la multiplika operacio: tio estas, <math>\rho(xy)=\rho(x)\rho(y)</math>.
Konsideru, ekzemple, du prezentojn <math>\sigma
▲Notu, tamen, ke estas ne natura maniero difini [[tensora produto|tensoran produton]] de prezentoj de asociecaj algebroj, sen iel altrudi aldonajn kondiĉojn. Ĉi tie, per ''tensora produto de prezentoj'', la kutima signifo estas intencita: la rezulto devus esti lineara prezento sur la (produkto, produto) vektora spaco.
▲Altrudi tian aldonan strukturon tipe kondukas al la ideo de [[hopf-algebro]] aŭ [[lie-algebro]], kiel demonstraciis pli sube.
▲=== Motivado por hopf-algebro ===
▲Konsideru, ekzemple, du prezentojn <math>\sigma:A\rightarrow gl(V)</math> kaj <math>\tau:A\rightarrow gl(W)</math>. Oni povus provi formi tensoran produtan prezenton <math>\rho: x \mapsto \rho(x) = \sigma(x) \otimes \tau(x)</math> laŭ kiel ĝi agas sur la produta vektora spaco, tiel ke
:<math>\rho(x)(v \otimes w) = (\sigma(x)(v)) \otimes (\tau(x)(w))</math>
Tamen, tia
:<math>\rho(kx) = \sigma(kx) \otimes \tau(kx) = k\sigma(x) \otimes k\tau(x) = k^2 (\sigma(x) \otimes \tau(x)) = k^2 \rho(x)</math>
por <math>k \in K</math>. Oni povas savi ĉi tiun provon kaj restaŭri
:<math>\rho = (\sigma\otimes \tau) \circ \Delta</math>
Ĉi tie, Δ estas [[
=== Motivado por Lie-
▲Unu povas provi al esti pli lerta en difinanta tensora produto. Konsideri, ekzemple,
:<math>x \mapsto \rho (x) = \sigma(x) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x)</math>
Linio 109 ⟶ 103:
:<math>\rho(x) (v \otimes w) = (\sigma(x) v)\otimes w + v \otimes (\tau(x) w)</math>.
Ĉi tiu
:<math>\rho(xy) = \sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)</math>.
Sed
:<math>\rho(x)\rho(y) =
\sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W +
Linio 120 ⟶ 111:
\sigma(y) \otimes \tau(x) +
\mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)</math>.
▲Egaleco devus validi se la produto ''xy'' estis malsimetria (se la produto estis la [[lie-krampo]], tio estas, <math>xy \equiv M(x,y) = [x,y]</math>), tial farante la asociecan algebron en lie-algebron.
== Referencoj ==
* Ross
[[Kategorio:Algebro]]
| |||