Asocieca alĝebro: Malsamoj inter versioj

47 bitokojn aldonis ,  antaŭ 3 jaroj
Gramatikaj korektoj; mapo (en senco de funkcio) → bildigo (vd ekz. NPIV)
e (Osteologia movis paĝon Asocieca algebro al Asocieca alĝebro: algebro→alĝebro (algebro estas fako, alĝebro estas strukturo); vd alĝebro)
(Gramatikaj korektoj; mapo (en senco de funkcio) → bildigo (vd ekz. NPIV))
{{polurinda}}
:''Ĉi tiu artikolo estas pri aparta speco de [[vektora spaco]]. Por aliaj uzadoj de la termino "algebro" vidu: algebro (apartigilo).''
En [[matematiko]], '''asocieca algebro''' estas [[vektora spaco]] (aŭ pli ĝenerale, [[modulo (matematiko)|modulo (modela teorio)]]) kiu ankaŭ permesas la multiplikon de vektoroj en [[distribueco|distribueca]] kaj [[asocieco|asocieca]] maniero. Ili estas tial specialaj [[algebroalĝebro super kampo|algebrojalĝebroj]]. (Kelkfoje nomataj "[[alĝebroalgebro]]" aŭ "algebrao" anstataŭ "algebroalĝebro".)
 
== Difino ==
Asocieca algebroalĝebro ''A'' super [[Korpo (algebro)|kampo]] ''K'' estas difinita kiel vektora spaco super ''K'' kaj ankaŭ ''K''-[[dulineara operatoro|dulineara multipliko]] ''A'' x ''A'' → ''A'' (kie la bildo de (''x'',''y'') estas skribita kiel ''xy'') tia, ke la [[asocieca leĝo]] validas:
 
Asocieca algebro ''A'' super [[Korpo (algebro)|kampo]] ''K'' estas difinita kiel vektora spaco super ''K'' kaj ankaŭ ''K''-[[dulineara operatoro|dulineara multipliko]] ''A'' x ''A'' → ''A'' (kie la bildo de (''x'',''y'') estas skribita kiel ''xy'') tia, ke la [[asocieca leĝo]] validas:
 
* (''x y'') ''z'' = ''x'' (''y z'') por ĉiuj ''x'', ''y'' kaj ''z'' en ''A''.
* ''a'' (''x y'') = (''a'' ''x'') ''y'' = ''x'' (''a'' ''y'')    por ĉiuj ''x'', ''y'' en ''A'' kaj ''a'' en ''K''.
 
Se ''A'' enhavas [[identa ero|identan eron]], kio estas ero 1 tia ke 1''x'' = ''x''1 = ''x'' por ĉiuj ''x'' en ''A'', tiam ''A'' estas ''''asocieca algebroalĝebro kun unuunuo''' aŭ '''unuohava''' (aŭ '''unuargumenta''') '''asocieca algebroalĝebro'''.
Tia algebroalĝebro estas ringo, kaj enhavas ĉiujn erojn ''a'' de la kampo ''K'' per identigo kun ''a''1.
 
La antaŭvenanta difino ĝeneraliĝas sen iu ajn ŝanĝo al algebroalĝebro super [[komuta ringo]] ''K'' (escepte, ke ''K''-lineara spaco estas tiam nomita [[modulo (matematiko)|modulo (modela teorio)]] kaj ne vektora spaco). Vidu [[algebroalĝebro (ringa teorio)]] por pli.
 
La ''dimensio'' de la asocieca algebroalĝebro ''A'' super la kampo ''K'' estas ĝia dimensio kiel ''K''-vektora spaco.
 
== Ekzemploj ==
 
* La ''n''-per-''n'' [[kvadrata matrico|kvadrataj matricoj]] kun elementoj de la kampo ''K'' formas unuargumentan asociecan algebronalĝebron super ''K''.
* La [[kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]] formas [[2-dimensia]]n unuargumentan asociecan algebronalĝebron super la [[reela nombro|reelaj nombroj]].
* La [[kvaterniono]]j formas [[4-dimensia]]n unuargumentanunuohavan asociecan algebronalĝebron super la reelaj nombroj (sed ne algebroalĝebro super la kompleksaj nombroj, ĉar kompleksaj nombroj ne [[komuteco|komutiĝas]] kun kvaternionoj).
* La [[polinomo]]j kun reelaj koeficientoj formas unuargumentan asociecan algebronalĝebron super la reelaj nombroj.
* Por donita iun ajn [[banaĥa spaco]] ''X'', la [[kontinua funkcio (topologio)|kontinuaj]] [[lineara operatoro|linearaj operatoroj]] ''A'' : ''X'' → ''X'' formas unuargumentan asociecan algebronalĝebron (uzante komponaĵo de operatoroj kiel multipliko); ĉi tio estas [[banaĥa algebroalĝebro]].
* Por donita iun ajn [[topologia spaco]] ''X'', la kontinua reelo-valoraj (aŭ komplekso-valoraj) funkcioj sur ''X'' formas reelan (aŭ kompleksan) unuargumentan asociecan algebronalĝebron; ĉi tie oni adiciu kaj multipliku funkciojn punktlarĝe.
* Ekzemplo de ne-unuargumenta asocieca algebroalĝebro estas tiu donita per la aro de ĉiuj funkcioj ''f'': '''R''' → '''R''' kies [[limeso|limigo]] kiam ''x'' proksimiĝas malfinion estas nulo.
* La [[algebroalĝebro de Clifford|algebrojalĝebroj de Clifford]] estas utilaj en [[geometrio]] kaj [[fiziko]].
* _Incidence_incida algebrojalĝebroj de loke finia [[Parte orda aro|parte ordaj aroj]] estas unuargumentaj asociecaj algebrojalĝebroj konsideritaj en [[kombinatoriko]].
 
== Algebrajalĝebraj homomorfioj ==
 
Se ''A'' kaj ''B'' estas asociecaj algebrojalĝebroj super la sama kampo ''K'', ''algebraalĝebra homomorfio'' ''h'': ''A'' → ''B'' estas ''K''-[[lineara transformo|lineara surĵeto]] kiu estas ankaŭ multiplika en la senco, ke ''h''(''xy'') = ''h''(''x'') ''h''(''y'') por ĉiuj ''x'', ''y'' en ''A''. Kun ĉi tiu nocio de strukturkonservanta transformo, la klaso de ĉiuj asociecaj algebrojalĝebroj super ''K'' iĝas [[teorio de kategorioj|kategoriojn]].
 
Prenu ekzemple la algebronalĝebron ''A'' de ĉiuj reel-valoraj kontinuaj funkcioj '''R''' → '''R''', kaj ''B'' = '''R'''. Ambaŭ estas algebrojalĝebroj super '''R''', kaj la mapobildigo kiu asignas al ĉiu kontinua funkcio ''f'' la nombron ''f''(0) estas algebraalĝebra homomorfio de ''A'' al ''B''.
 
== Indekso-libera skribmaniero ==
 
En la pli supre difino de asocieca algebroalĝebro, la difino de asocieco estis farita kun pritakso al ĉiuj eroj de ''A''. Estas fojfoje pli oportune havi difinon de asocieco, en kiu ne bezonas mencii la erojn de ''A''.
Tio povas esti farita kiel sekvas. Algebroalĝebro estas difinita kiel mapobildigo ''M'' (multipliko) sur vektora spaco ''A'':
 
:<math>M: A \times A \rightarrow A</math>
 
Asocieca algebroalĝebro estas algebroalĝebro kie la mapobildigo ''M'' havas la propraĵon
 
:<math>M \circ (\mbox {Id} \times M) = M \circ (M \times \mbox {Id})</math>
 
Ĉi tie, la simbolo <math>\circ</math> signifas [[funkcia komponaĵo|funkcian komponaĵon]], kaj ''Id'' estas la identa surĵeto: ''Id(x)=x'' por ĉiuj ''x'' en ''A''. Por vidi la ekvivalenton de la difinoj, bezonatasnecesas nur kompreni, ke ĉiu flanko de la pli supreĉi ekvacio estas funkcio, kiu prenashavas tri argumentojn. Ekzemple, la maldekstra flanko funkcias kiel
 
:<math>( M \circ (\mbox {Id} \times M)) (x,y,z) = M (x, M(y,z))</math>
 
Simile, unuohava asocieca algebroalĝebro povas esti difinita pere de unita mapobildigo
 
:<math>\eta: K \rightarrow A</math>
:<math>M \circ (\mbox {Id} \times \eta ) = s = M \circ (\eta \times \mbox {Id})</math>
 
Ĉi tie, la unua mapobildigo Η prenas eroeron ''k'' en ''K'' al la ero ''k1'' en ''A'', kie ''1'' estas la unua ero de ''A''. La mapobildigo ''s'' estas nur simple skalara multipliko: <math>s:K\times A \rightarrow A</math>; tial, la pli supre idento estas iamkelkfoje skribita kun Id staranta en la loko deanstataŭanta ''s'', kun skalara multipliko estante implice komprenita.
 
== Ĝeneraligoj ==
Oni povas konsideri asociecajn algebrojnalĝebrojn super komuta ringo ''R'': ĉi tiuj estas [[modulo (matematiko)|moduloj]] super ''R'' kaj ankaŭ ''R''-dulineara mapabildigo, kiu produktas asociecan multiplikon. En tiu kazo, _unital_unuohava ''R''-algebroalĝebro ''A'' povas ekvivalente esti difinita kiel ringo ''A'' kun ringa homomorfio ''R''→''A''.
 
La ''n''-per-×''n'' matricoj kun [[Entjero|entjeraj]] elementoj formas asociecan algebronalĝebron super la entjeroj. kaj laLa polinomoj kun koeficientoj en la ringo '''Z'''/''n'''''Z''' (vidu [[modula aritmetiko]]) formas asociecan algebronalĝebron super '''Z'''/''n'''''Z'''.
Oni povas konsideri asociecajn algebrojn super komuta ringo ''R'': ĉi tiuj estas [[modulo (matematiko)|moduloj]] super ''R'' kaj ankaŭ ''R''-dulineara mapa kiu produktas asociecan multiplikon. En tiu kazo, _unital_ ''R''-algebro ''A'' povas ekvivalente esti difinita kiel ringo ''A'' kun ringa homomorfio ''R''→''A''.
 
== Koalĝebro ==
La ''n''-per-''n'' matricoj kun [[Entjero|entjeraj]] elementoj formas asociecan algebron super la entjeroj kaj la polinomoj kun koeficientoj en la ringo '''Z'''/''n'''''Z''' (vidu [[modula aritmetiko]]) formas asociecan algebron super '''Z'''/''n'''''Z'''.
Asocieca unuargumentaunuohava algebroalĝebro super ''K'' estas bazita sur [[strukturkonservanta transformo]] ''A''×''A''→''A'' havanta 2 enigojn) (multiplikantomultiplikanton kaj multiplikatomultiplikaton) kaj unu eligieligon (produtoproduton), kaj ankaŭ strukturkonservanta transformo ''K''→''A'' identiganta la skalarajskalarajn oblojn de la multiplika identounuo. Tiuj du strukturkonservantaj transformoj povas esti dualigitaj uzante kategorian duvariantecoduvariantecon per dorsflankigo de ĉiuj sagoj en la [[komuta figuro|komutaj figuroj]] kiuj priskribas la algebrajn [[aksiomo]]jn; ĉi tiu difinas la strukturon de [[kunalgebrokoalĝebro]].
 
Estas ankaŭ abstrakta nocio de F-kunalgebrokoalĝebro.
== Kunalgebro ==
 
Asocieca unuargumenta algebro super ''K'' estas bazita sur [[strukturkonservanta transformo]] ''A''×''A''→''A'' havanta 2 enigojn) (multiplikanto kaj multiplikato) kaj unu eligi (produto), kaj ankaŭ strukturkonservanta transformo ''K''→''A'' identiganta la skalaraj oblojn de la multiplika idento. Tiuj du strukturkonservantaj transformoj povas esti dualigitaj uzante kategorian duvarianteco per dorsflankigo de ĉiuj sagoj en la [[komuta figuro|komutaj figuroj]] kiuj priskribas la algebrajn [[aksiomo]]jn; ĉi tiu difinas la strukturon de [[kunalgebro]].
 
Estas ankaŭ abstrakta nocio de F-kunalgebro.
 
== Prezentoj ==
[[Grupa prezento]] de algebroalĝebro estas lineara surĵeto <math>\rho:A\rightarrow gl(V)</math> de ''A'' al la ĝenerala lineara algebroalĝebro de iu vektora spaco (aŭ modulo (modela teorio)) ''V'', kiu konfitas la multiplika operacio: tio estas, <math>\rho(xy)=\rho(x)\rho(y)</math>.
Notu, tamen, ke estas ne natura manieronenature difini [[tensora produto|tensoran produton]] de prezentoj de asociecaj algebrojalĝebroj, sen iel altrudi aldonajn kondiĉojn. Ĉi tie, per ''tensora produto de prezentoj'', la kutima signifo estas intencita: la rezulto devus esti lineara prezento sur la (produkto, produto)produta vektora spaco.
Altrudi tian aldonan strukturon tipe kondukas al la ideo de [[hopfHopf-algebroalĝebro]] aŭ [[lieLie-algebroalĝebro]], kiel demonstraciis plidemonstraciiĝas sube.
 
=== Motivado por hopfHopf-algebroalĝebro ===
[[Grupa prezento]] de algebro estas lineara surĵeto <math>\rho:A\rightarrow gl(V)</math> de ''A'' al la ĝenerala lineara algebro de iu vektora spaco (aŭ modulo (modela teorio)) ''V'', kiu konfitas la multiplika operacio: tio estas, <math>\rho(xy)=\rho(x)\rho(y)</math>.
Konsideru, ekzemple, du prezentojn <math>\sigma:\colon A\rightarrow gl(V)</math> kaj <math>\tau:A\rightarrow gl(W)</math>. Oni povus provi formi tensoran produtan prezenton <math>\rho:\colon x \mapsto \rho(x) = \sigma(x) \otimes \tau(x)</math> laŭ kiel ĝi agas sur la produta vektora spaco, tiel ke
Notu, tamen, ke estas ne natura maniero difini [[tensora produto|tensoran produton]] de prezentoj de asociecaj algebroj, sen iel altrudi aldonajn kondiĉojn. Ĉi tie, per ''tensora produto de prezentoj'', la kutima signifo estas intencita: la rezulto devus esti lineara prezento sur la (produkto, produto) vektora spaco.
Altrudi tian aldonan strukturon tipe kondukas al la ideo de [[hopf-algebro]] aŭ [[lie-algebro]], kiel demonstraciis pli sube.
 
=== Motivado por hopf-algebro ===
 
Konsideru, ekzemple, du prezentojn <math>\sigma:A\rightarrow gl(V)</math> kaj <math>\tau:A\rightarrow gl(W)</math>. Oni povus provi formi tensoran produtan prezenton <math>\rho: x \mapsto \rho(x) = \sigma(x) \otimes \tau(x)</math> laŭ kiel ĝi agas sur la produta vektora spaco, tiel ke
 
:<math>\rho(x)(v \otimes w) = (\sigma(x)(v)) \otimes (\tau(x)(w))</math>
 
Tamen, tia mapo devusbildigo ne povas esti lineara, ĉar oni devus havi
 
:<math>\rho(kx) = \sigma(kx) \otimes \tau(kx) = k\sigma(x) \otimes k\tau(x) = k^2 (\sigma(x) \otimes \tau(x)) = k^2 \rho(x)</math>
 
por <math>k \in K</math>. Oni povas savi ĉi tiun provon kaj restaŭri linearecolinearecon per altrudo de aldona strukturo, per difino de mapobildigo <math>\Delta:A \rightarrow A \times A</math>, kaj difini la tensoran produtan prezenton kiel
 
:<math>\rho = (\sigma\otimes \tau) \circ \Delta</math>
 
Ĉi tie, Δ estas [[kunmultiplikokomultipliko]]. La rezultanta strukturo estas nomita ''dualgebrodualĝebro''. Por esti konsekvenca kun la difinoj de la asocieca algebroalĝebro, la kunalgebrokoalĝebro devas esti co-asociecakoasocieca, kaj, se la algebroalĝebro estas unuohava, tiam la co-algebrokoalĝebro ankaŭ devas esti unuohava. Notu, ke dualgebrojla lasasdifino multiplikonde kajdualĝebroj kunmultiplikonne nerilatajn;rilatas tialmultiplikon ĝikun estaskunmultiplikon; ordinarekelkfoje, rilatigiili larilatiĝas du (per difinanta antipodo), tial kreanteformante hopfHopf-algebronalĝebron.
 
=== Motivado por Lie-algebroalĝebro ===
UnuOni povas provi al esti pli lerta endum difinanta tensora produto. KonsideriKonsideru, ekzemple,
 
Unu povas provi al esti pli lerta en difinanta tensora produto. Konsideri, ekzemple,
 
:<math>x \mapsto \rho (x) = \sigma(x) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x)</math>
:<math>\rho(x) (v \otimes w) = (\sigma(x) v)\otimes w + v \otimes (\tau(x) w)</math>.
 
Ĉi tiu mapobildigo estas klare lineara en ''x'', kaj tiel ĝi ne havas la problemon de la pli frua difino. Tamen, ĝi mankaspovas ne konformi al konfitila multipliko:multiplika aksiomo. Laŭ la difino de <math>\rho</math>,
 
:<math>\rho(xy) = \sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)</math>.
Sed
 
Sed, en ĝenerala, ĉi tiu ne egala
 
:<math>\rho(x)\rho(y) =
\sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W +
\sigma(y) \otimes \tau(x) +
\mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)</math>.
EgalecoLa devusdu validiesprimoj povas esti malsamaj. Tamen, la du devas esti egala se la produto ''xy'' estisestas malsimetria (se la produto estisestas la [[lie-krampo]], tio estas, <math>xy \equiv M(x,y) = [x,y]</math>), tial farante laLie-alĝebron asociecanel algebronasocieca en lie-algebronalĝebro.
 
Egaleco devus validi se la produto ''xy'' estis malsimetria (se la produto estis la [[lie-krampo]], tio estas, <math>xy \equiv M(x,y) = [x,y]</math>), tial farante la asociecan algebron en lie-algebron.
 
== Referencoj ==
* Ross StratoStreet, ''[http://www-texdev.ics.mq.edu.au/Quantum/Quantum.ps Kvantumaj grupoj: eneniro al moderna algebro]'' (1998). ''(Provizas bonan ĝeneralan priskribon de indekso-libera skribmaniero)''
 
[[Kategorio:Algebro]]