Eŭklida spaco: Malsamoj inter versioj

Eŭklida spaco ludas rolon en la difino de [[duktosternaĵo]] kiu kunigas konceptojn de ambaŭ [[eŭklida geometrio]] kaj [[neeŭklida geometrio]]. Unu matematika motivado por difinanta distanca funkcio estas ebleco por difini [[Pilko (matematiko)|malfermitan pilkon]] ĉirkaŭ punktoj en la spaco. Ĉi tiu fundamenta koncepto similigas [[diferenciala kalkulo|diferencialan kalkulon]] inter eŭklida spaco kaj aliaj duktojsternaĵoj. Diferenciala geometrio enkondukas tian diferencialan kalkulo, kaj ankaŭ teknikon de movebla, loka eŭklida spaco, por esplori propraĵojn de neeŭklidaj duktojsternaĵoj.

Eŭklida spaco estas pli ol (justa, ĵus) (reala, reela) koordinata spaco. Por ke fari [[Eŭklida geometrio]] unu (bezonas, bezonoj) povi (konversacii, konversacio, prelego) pri la [[distanco]] inter punktoj kaj la [[Angulo|anguloj]] inter linioj aŭ (vektoroj, vektoras). La natura vojo en kiu al fari ĉi tiu estas al prezenti kio estas (nomita, vokis) ena (produkto, produto) aŭ ''skalara produto'' sur '''R'''^''n''. Ĉi tiu (produkto, produto) estas difinita per

La skalara produto de (ĉiu, iu) du (vektoroj, vektoras) '''x''' kaj '''y''' donas reela nombro. Ĉi tiu (produkto, produto) permesas ni al difini la "longo" de vektoro ''x'' en jena vojo

(Reala, Reela) koordinata spaco kaj ankaŭ la pli supre Eŭklida strukturo (skalara produto kaj la asociita normo kaj metriko) estas (nomita, vokis) '''Eŭklida spaco''' ofte signifis per '''E'''^''n''. (Multaj (aŭtoroj, aŭtoras) referi al '''R'''^''n'' sin kiel Eŭklida spaco, kun la Eŭklida strukturo estante komprenita). La Eŭklida strukturo sur '''E'''^''n'' donas ĝi la strukturo de ena (produkto, produto)produta spaco (fakte [[Hilberta spaco]]), [[normigita vektora spaco]], kaj [[metrika spaco]].

Fakte, Eŭklida spaco '''E'''^''n'' estas (reala, reela) n-dimensia [[afina spaco]] kiel ĝia korespondanta lineara aŭ [[vektora spaco]] ( izomorfia al la lineara aŭ vektora spaco '''R'''^''n'' ) havas ena (produkto, produto).

Ekde Eŭklida spaco estas [[Metrika spaco|metrika spaca]] ĝi estas ankaŭ [[topologia spaco]] kun la natura topologio konkludis per la metriko. La metrika topologio sur '''E'''^''n'' estas (nomita, vokis) la '''Eŭklida topologio'''. Aro estas [[Malfermita aro|(malfermi, malfermita)]] en la Eŭklida topologio [[S.n.s.|se kaj nur se]] ĝi enhavas (malfermi, malfermita) pilko ĉirkaŭ ĉiu de ĝiaj punktoj. La Eŭklida topologio (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster al esti ekvivalento al la (produkto, produto)produta topologio sur '''R'''^''n'' (konsiderita, konsideris)rigardata kiel (produkto, produto) de ''n'' (kopioj, kopias) de la [[reala linio]] '''R''' (kun ĝia norma topologio).

Eŭklida ''n''-spaco estas la pratipa ekzemplo de ''n''-[[duktosternaĵo]], fakte, [[glata duktosternaĵo]]. Por ''n'' ≠ 4, (ĉiu, iu) diferencialebla ''n''-dukta tio estassternaĵo [[homeomorfiahomeomorfa]] al '''R'''^''n'' estas ankaŭ _diffeomorphic_[[difeomorfa]] al ĝi. La surprizanta fakto (tiu, ke) ĉi tiu estas ne ankaŭ vera por ''n'' = 4 estis (pruvita, pruvis)de per[[Simon _Simon_ _Donaldson_Donaldson]] en [[1982]]; la (kontraŭekzemploj, kontraŭekzemplas) estas (nomita,la vokis)[[ekzota ekzotikaR4|ekzotaj (aŭ ''falsi'')<math>\mathbb R^4</math>]]-(spacoj, kosmoj, spacetoj)oj.

Eŭklida spaco estas ankaŭ sciata kiel ''lineara duktosternaĵo''. ''m-dimensia lineara subduktosubsternaĵo'' de '''R'''^''n'' estas Eŭklida spaco de ''m'' (dimensioj, dimensias) enigita en ĝi (kiel afina subspaco). Ekzemple, (ĉiu, iu) rekto en iu pli alta-dimensia Eŭklida spaco estas 1-dimensia lineara subduktosubsternaĵo de (tiu, ke) spaco.