Harmondivizora nombro: Malsamoj inter versioj

▲Por ĉiu entjero ''M'', kiel Ore observis, la produto de la harmonia meznombro kaj [[aritmetika meznombro]] de ĝiaj divizoroj egalaj ''M'' mem. Pro tio, ''M'' estas harmonia, kun harmonia meznombro de divizoroj ''k'', se kaj nur se la averaĝo de ĝiaj divizoroj estas la produto de ''M'' kun [[ono]] ''1/k''.

▲Ore montris ke ĉiu [[perfekta nombro]] estas harmonia. La sumo de divizoroj de perfekta nombro ''M'' estas akurate ''2M''; pro tio, la averaĝo de la divizoroj estas ''M(2/τ(M))'', kie ''τ(M)'' estas la [[dividanta funkcio|kvanto de divizoroj]] de ''M''. Por ĉiu ''M'', ''τ(M)'' estas nepara se kaj nur se ''M'' estas [[kvadrata nombro]], alie ĉiu dividanto ''d'' de ''M'' povas esti parita kun malsama dividanto ''M''/''d''. Sed, perfekta nombro ne povas esti kvadrato: ĉi tio sekvas de la sciata formo de paraj perfektaj nombroj kaj de tio ke neparaj perfektaj nombroj (se ili ekzistas) devas havi faktoron de formo ''q^α'' kie ''α ≡ 1 (mod 4)''. Pro tio, por perfekta nombro ''M'', ''τ(M)'' estas para kaj la averaĝo de la divizoroj estas produto de ''M'' kun la ono ''2/τ(M)''; tial, ''M'' estas harmonia dividanta nombro.

▲Ore konjektis ke ne ekzistas neparaj harmoniaj dividantaj nombroj escepte de 1. Se la konjekto estas vera, ĉi tio devas enhavi la neekziston de neparaj perfektaj nombroj.

▲W. H. Frezas montris ke ĉiu nepara harmonia dividanta nombro pli granda ol 1 devas havi priman povan faktoron pli grandan ol 10⁷, kaj Cohen montris ke ĉiu tia nombro devas havi almenaŭ tri malsamajn primajn faktorojn.

▲Cohen, Goto, kaj aliaj startante kun Ore mem plenumis komputilajn serĉojn listante ĉiujn malgrandajn harmonajn dividantajn nombrojn. De ĉi tiuj rezultoj, listoj estas sciata de ĉiuj harmonaj dividantaj nombroj ĝis 2×10⁹, kaj ĉiuj harmoniaj dividantaj nombroj por kiuj la harmonia meznombro de la divizoroj estas maksimume 300.