Sumformulo de Gauss

La sumformulo de Gauss por ĉiuj naturaj nombroj $n\geq 1$ tekstas jene:

$1+2+3+4+\dotsb +n=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}$.

Tiu matematika serio estas speciala kazo de "aritmetika serio".

La bazo de la indukto tuj pruveblas per matematika indukto:

$\sum _{k=1}^{1}k=1={\frac {1(1+1)}{2}}$

La paŝo de la indukto por ajnaj naturaj nombroj $\,n$ estas atingata per la jena egalaĵo-ĉeno, ĉe kiu la indukta hipotezo estas uzata ĉe la dua transformo:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k=\sum _{k=1}^{n}k+(n+1)={\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)\\={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}\end{aligned}}$

Deveno de la nomo

La suma formulo kaj la suma formulo por la unuaj $n$ kvadrataj nombroj jam konatis en la antaŭhelena matematiko.

Carl Friedrich Gauß retrovis la formulon kiel naŭjara lernejano. Lia instruisto Büttner en la baza lernejo taskigis al siaj lernantoj sumigi la nombrojn de aritmetika serio. Li apenaŭ sukcesis findiri la taskon, kiam la naŭjarulo metis sian tabulon sur la tablon kaj vokis "jen la solvo".

La ekzakta vortumo de la tasko ne konatas. Ofte oni supozis ke la instruisto taskigis sumigi la nombrojn de 1 ĝis 100 kaj la naŭjara knabo ekkonis ke la unua kaj lasta nombroj (1+100), la dua kaj antaŭlasta nombroj (2+99) ktp. ĉiam rezultis la sumon 101. La serĉata sumo do troveblas per la kalkulo 101 oble 50.

La matematika instruisto baldaŭ ekkonis ke la knabo Gauß en sia klaso ne povis lerni ion novan, kaj sukcesis aranĝi por li lernadon en la gimnazio Sankta Katarino de Brunsvigo.