Derivaĵo (ekzemploj)

Por fono pli la temo, vidu artikolon derivaĵo (matematiko).

---

Ekzemplo 1

Estu f(x) = 5:

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {5-5}{h}}=0$

La derivaĵo de konstanta funkcio estas nulo.

Ekzemplo 2

Konsideru grafikaĵon de $f(x)=2x-3$. Per algebro kaj la karteziaj koordinatoj, eblas difini ke ĉi tiu linio havas inklinon 2 je ĉiu punkto. Uzante la pli supran rilatumon oni povas difini la inklinon je (4,5):

$f'(4)\,$	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(4+h)-f(4)}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {8+2h-3-8+3}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2h}{h}}=2$

kaj vere la derivaĵo kaj inklino estas ekvivalento.

Ekzemplo 3

Tra diferencialado, oni povas trovi inklinon de kurbo. Estu $f(x)=x^{2}$:

$f'(x)\,$	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x$

Por ĉiu punkto x, la inklino de la funkcio $f(x)=x^{2}$ estas $f'(x)=2x$.

Ekzemplo 4

Estu f(x) = √x:

$f'(x)\,$	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}$
	$={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

Ekzemplo 5

La sama funkcio kiel en la antaŭa ekzemplo, sed nun oni serĉu derivaĵon de la derivaĵo.
Estu f(x) = √x:

$f''(x)\,$	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left({\frac {1}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\right)(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {2{\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {2{\sqrt {x+h}}}{2{\sqrt {x}}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {x}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {x+h}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\frac {-h}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {-1}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {-1}{2{\sqrt {x}}(x+h)+2x{\sqrt {x+h}}}}$
	$={\frac {-1}{4x{\sqrt {x}}}}$