Derivaĵo (matematiko)

Matematikaj funkcioj
Argumentaro, Celaro, Bildaro, Malbildo
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco

Derivaĵo estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj infinitezima kalkulo, kune kun la integralo. La derivaĵo de funkcio ĉe iu punkto estas la angula koeficiento de la grafikaĵo de la funkcio ĉe tiu punkto.

Tanĝanta linio ĉe punkto. Por kalkuli la derivaĵon de punto al kurbo oni konverĝas la inkrementon de la inkrementa rilatumo al 0. Jen grafike kion signifas: la grizaj linioj estas la simulo de la konverĝo.

Difino kaj simbolarojRedakti

 
Tanĝanta linio al kurbo. La angula koeficiento de tia linio estas la derivaĵo de la funkcio ĉe la punkto.

En analitiko la derivaĵo de reala funkcio de reala variablo   en la punkto   estas difinita kiel la limeso de la inkrementa rilatumo konverĝanta al 0 de h, se ĝi ekzistas kaj estas finia.

 
Klarigo, donanta la komencan intuician ideon pri la derivaĵo, kiel la "swing" de funkcioŝanĝo kiam la argumento ŝanĝiĝas.

Pliprecize, funkcio  difinita en ĉirkaŭaĵo   estas derivebla en la punkto   se ekzistas kaj estas finia la limeso:

 

La valoro de ĉi tiu limeso nomiĝas derivaĵo de la funkcio en la punkto  . Se funkcio   estas derivebla en ĉiu punkto de la intervalo  , tiam oni diras, ke la funkcio estas derivebla en  .

La derivaĵo en la punkto   estas indikita per unu el la sekvaj simbolaroj:

 
 
 
  • Historie la unua simbolaro estas ankoraŭ uzata en fiziko:
 
 

Maldekstra kaj dekstra derivaĵoRedakti

Nomiĝas maldekstra derivaĵo de f en x0:

 

Nomiĝas dekstra derivaĵo de f en x0:

 

Funkcio estas derivebla en  , se kaj nur se ekzistas la maldekstra kaj dekstra derivaĵoj, kiuj estas egalaj.

TeoremojRedakti

Teoremo de FermatRedakti

  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Teoremo de Fermat pri kritaj punktoj.

Estu:

  •   derivebla funkcio, do kontinua en  , kie
  •   estas interna punkto al argumentaro de la funkcio f, kaj
  •   estas maksimumo aŭ minimumo de la funkcio f,

tiam la derivaĵo de la funkcio en   estas nula, tio estas  .

Teoremo de RolleRedakti

  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Teoremo de Rolle.

Estu   kontinua funkcio en   kaj derivebla en  . Se  , tiam ekzistas almenaŭ unu punkto   en la intervalo  , kies derivaĵo nuliĝas.

Teoremo de LagrangeRedakti

  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Teoremo de Lagrange.

Estu   kontinua funkcio en   kaj derivebla en  . Ekzistas almenaŭ unu punkto   en la intervalo  , kies derivaĵo egalas al  .

Teoremo de CauchyRedakti

  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Teoremo de Cauchy.

Estu   kaj   kontinuaj funkcioj en   kaj deriveblaj en  , tiam ekzistas almenaŭ unu punkto   en   tia, ke:

 

Teoremo pri konstanta funkcioRedakti

Funkcio estas konstanta en iu intervalo  , s.n.s. ĝi estas derivebla, kaj ĝia derivaĵo nulas en tia intervalo  .

Tiu aserto estas konsekvenco de la difino de la derivaĵo, kaj apliko de la teoremo de Lagrange.

Vidu ankaŭRedakti