Derivaĵo (matematiko)

Derivaĵo estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj infinitezima kalkulo, kune kun la integralo. La derivaĵo de funkcio ĉe iu punkto estas la angula koeficiento de la grafikaĵo de la funkcio ĉe tiu punkto.

Tanĝanta linio ĉe punkto. Por kalkuli la derivaĵon de punto al kurbo oni konverĝas la inkrementon de la inkrementa rilatumo al 0. Jen grafike kion signifas: la grizaj linioj estas la simulo de la konverĝo.

Difino kaj notaciaj variaĵoj

Tanĝanta rekto al linio. La angula koeficiento de tia rekto estas la derivaĵo de la funkcio ĉe la koncerna punkto.

En analitiko la derivaĵo de reela funkcio de reela variablo $f(x)$ en la punkto $x_{0}$ estas difinita kiel la limeso de la inkrementa rilatumo konverĝanta al 0 de h, se ĝi ekzistas kaj estas finia.

Klarigo, donanta la komencan intuician ideon pri la derivaĵo, kiel la "grado" de funkcioŝanĝo, dum la argumento ŝanĝiĝas.

Pli precize, funkcio $f(x)$difinita en ĉirkaŭaĵo $x_{0}\quad$ estas derivebla en la punkto $x_{0}$ se ekzistas kaj estas finia la limeso:

${\mathop {\lim _{h\to 0}} {{f\left({x_{0}+h}\right)-f\left(x_{0}\right)} \over h}}$

La valoro de ĉi tiu limeso nomiĝas derivaĵo de la funkcio en la punkto $x_{0}$. Se funkcio $f(x)$ estas derivebla en ĉiu punkto de la intervalo $(a,b)$, tiam oni diras, ke la funkcio estas derivebla en $(a,b)\quad$.

Ekzistas pluraj malsamaj simbolaj notacioj por derivaĵo de funkcio $f$ en punkto $x_{0}$:

• Laŭ la notacio de Lagrange

$f^{\prime }(x_{0}).$

• Laŭ la notacio de Cauchy

$\operatorname {D} \left[{f}({x_{0}})\right].$

• Laŭ la notacio de Leibniz:

${\frac {\mathrm {d} f(x_{0})}{\mathrm {d} x}}.$

• La historie unua notacio estas ankoraŭ uzata en fiziko:

$\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right)_{(x_{0})}.$

• Laŭ la notacio de Newton, derivaĵo rilate al la tempo t:

${\dot {f}}(t_{o}).$

Maldekstra kaj dekstra derivaĵo

Nomiĝas maldekstra derivaĵo de f ĉe la punkto x₀:

$f'_{-}(x_{0})=\lim _{h\to 0^{-}}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}$

Nomiĝas dekstra derivaĵo de f ĉe la punkto x₀:

$f'_{+}(x_{0})=\lim _{h\to 0^{+}}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}$

Funkcio estas derivebla ĉe x₀, se kaj nur se ekzistas la maldekstra kaj dekstra derivaĵoj, kiuj estas egalaj.

Teoremoj

Teoremo de Fermat

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Teoremo de Fermat pri kritaj punktoj.

Estu:

• $f(x)\quad$ derivebla funkcio, do kontinua en $x_{0}\quad$, kie
• $x_{0}\quad$ estas interna punkto al argumentaro de la funkcio f, kaj
• $x_{0}\quad$ estas maksimumo aŭ minimumo de la funkcio f,

tiam la derivaĵo de la funkcio en $x_{0}$ estas nula, tio estas $f'(x_{0})=0\quad$.

Teoremo de Rolle

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Teoremo de Rolle.

Estu $f(x)$ kontinua funkcio en $[a,b]$ kaj derivebla en $(a,b)$. Se $f(a)=f(b)$, tiam ekzistas almenaŭ unu punkto $x_{0}\quad$ en la intervalo $(a,b)$, kies derivaĵo nuliĝas.

Teoremo de Lagrange

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Teoremo de Lagrange.

Estu $f(x)$ kontinua funkcio en $[a,b]$ kaj derivebla en $(a,b)$. Ekzistas almenaŭ unu punkto $x_{0}$ en la intervalo $(a,b)$, kies derivaĵo egalas al ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Teoremo de Cauchy

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Teoremo de Cauchy.

Estu $f(x)$ kaj $g(x)$ kontinuaj funkcioj en $[a,b]$ kaj deriveblaj en $(a,b)$ kaj $g'(x)\neq 0\forall x\in (a,b)$, tiam ekzistas almenaŭ unu punkto $x_{0}$ en $(a,b)$ tia, ke:

${\frac {f'(x_{0})}{g'(x_{0})}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$

Teoremo pri konstanta funkcio

Funkcio estas konstanta en iu intervalo $[a,b]$, s.n.s. ĝi estas derivebla, kaj ĝia derivaĵo nulas en tia intervalo $(a,b)\quad$.

Tiu aserto estas konsekvenco de la difino de la derivaĵo, kaj apliko de la teoremo de Lagrange.

Vidu ankaŭ

• Derivado
• Diferencialo
• Derivaĵo de ne entjera ordo
• Formulo de Faà di Bruno
• Malderivaĵo
• Parta derivaĵo
• Simetria derivaĵo