Pri la aliaj funkcioj estas skribataj per la litero ζ rigardu en funkcio ζ (apartigilo).

Matematikaj funkcioj
fonta aro, cela arobildo, malbildobildaro, argumentaro
Fundamentaj funkcioj
Algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
Aliaj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
totaleco kaj partecopareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco

Funkcio: zeto de Riemann – unu el specialaj funkcioj, nomita post Bernhard Riemann kaj difinata per formulo:

Serio estas konverĝa por z-oj , kiuj reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la analitika vastigaĵo.

Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodiaŭa matematiko – hipotezo de Riemann.

Ecoj redakti

Por nombroj   kiuj havas realan parton malpli granda ol 1, valoro de funkcio ζ povas esti kalkulita el formulo:

 

kaj   estas funkcio Γ de Euler.

Diagramo de ζ(x) redakti

 

Kelkaj valoroj redakti

 
 
 

La funkcio Zeto kiel Malfinia Produto redakti

Ojler montris ke

 

Ĉi tiu formulo veras por ĉiu   kies reela parto estas pli ol  .

Ojler deduktis tion sekvamaniere. Unue, rimarku ke

   

Per subtraho, oni trovas

 

En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,

 

Alia subtraho vidigas ke

 

Ĉiu nombro dividebla per   estante subtrahita, supre restas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per  . Simile,

 

kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per    (kaj nur tiuj).

Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto  , kaj la dekstra nombra konverĝas al  . Oni tuj atingas la proponatan egalecon.

Rimarko: la serio kiu difinas   konverĝas absolute, se la reala parto de   estas pli ol  . Tio permesas montri que la dekstra limito estas  .

Vidu ankaŭ redakti