Funkcio η

Por samtitola artikolo vidu la paĝon Funkcio de Dirichlet.

Funkcio η (aŭ funkcio η de Dirichlet — funkcio difinita por kompleksaj argumentoj, kiel:

$\eta (z)=\left(1-2^{1-z}\right)\zeta (z)$

kaj $\zeta (z)$ - funkcio ζ de Riemann.

Ceteraj difinoj

• Difino per senfina serio:

  $\eta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}}$ .

• Difino per integralo:

  $\eta (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{z-1}}{e^{x}+1}}\,dx$

  kaj $\Gamma (z)$ — funkcio Γ

Ecoj

• Reala parto de funkio η kaj reala parto de funkcio kun kompleksa konjugita argumento estas sama:

  ${\mbox{Re}}(\eta (z))={\mbox{Re}}(\eta (z^{*}))$

• Imaginara parto de funkio kaj imaginara parto de funkio kun kompleksa konjugita argumento estas kontraŭa:

  ${\mbox{Im}}(\eta (z))=-{\mbox{Im}}(\eta (z^{*}))$

• Limeso en senfino egalas 1:

  $\lim _{{\mbox{Re}}(z)\to \infty }\eta (z)=1$

• Rekte videbla estas, ke (el supraj ecoj):

  $\lim _{Re(z)\to \infty }{\mbox{Re}}(\eta (z))=1$

  $\lim _{Re(z)\to \infty }{\mbox{Im}}(\eta (z))=0$ .

Grafikaĵoj

• 

  η(x) por realaj nombroj. Imaginara parto estas nulo

• 

  Grafikaĵo de funkcio η(z) por tuta kompleksa surfaco.