Integralebla funkcio

Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Prabildo
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco

Integralebla funkcio – funkcio, por kiu egzistas integralo laŭ senco de ia teorio. Ekzemple estas integralebleco laŭ Riemann, laŭ Lebesgue, laŭ Stieltjes kaj aliaj. Tamen malgraŭ tio ke teorioj de integraleblaj funkcioj (en diversaj sencoj) estas tre grandaj, plej ofte integraleco signifas laŭ senco de Mezurteorio kiu estas skribita sube. Ĝi estas presakaŭ rekta ĝenralo de integralebleco laŭ Stieltjes.

DifinojEdit

Estu   σ-algebro.

  • Simpla funkcio estas funkcio   tiel, ke por iaj realaj nombroj   kaj por disaj aroj   estas
 
por ĉiuj  .
Se aldone ankaŭ   (por  ) tiam, funkcio f estas integralebla simpla funkcio kaj integralo de f laŭ mezuro   estas difinita kiel:
 .
  • Rimarku, ke kolekto de integraleblaj simplaj funkcioj estas sendependa de lineara kombinaĵo kaj absoluta valoro, ekzemple, se   estas integraleblaj simplaj funkcioj, tiam   ankaŭ estas.
  • Estu   mezurebla funkcio (kaj sur   estas σ-korpo de algebro de Borel). Tiam, funkcio g estas integralebla laŭ senco de mezuro   se oni povas trovi vico de integraleblaj simplaj funkcioj   kiuj plenumas subajn kondiĉojn:
(a) por ĉiu pozitiva   egzistas   tia, ke   por ĉiuj  
(b) por ĉiu pozitiva  ,
 .
Tiam difino de Integralo de g laŭ mezuro   estas:
 .
  • Inverse, se g estas integralebla (laŭ mezuro  ), tiam   estas korekte difinita, alinome: por ĉiu vico de integraleblaj simplaj funkcioj   kiuj plenumas kondiĉoj (a) kaj (b) (supere montrita) valoro de limeso   estas ĉiam sama.

RimarkojEdit

  • En matematiko eblecoj por enkonduki interalojn kaj integraleblecon estas kelkaj. Kutime diferencoj inter ili estas teknika kaj ili havas homogenajn difinojn.
  • Kondiĉo (a) en supera difino de funkcio, signifas ke vico   estas en cetera senco vico de Cauchy. Ĉar: Konsideru funkcio ρ difinita sur paroj de integraleblecajn simplajn funkciojn per kondiĉo  . Tiam ρ estas simetria kaj plenumas neegalaĵon de triangulo kaj ankaŭ, ke  .
  • Kondiĉo (b) en supera difino, signifas ke vico   estas konverĝa en seco de mezuro de funkcio f.

Fundamentaj ecojEdit

Kiel supren, estu   mezurebla spaco kun mezuro.

  • Se   estas integraleblecaj, tiam lineara kombinaĵo de ili   (por  ) kaj   estas ankaŭ integralebleca.
  • Se  , f estas mezurebla, g estas integralebla kaj  , tiam, f estas integralebla (an. mezurebla funkcio, de kiu absoluta valoro estas preskaŭ ĉie pli granda ol integralebla funkcio estas integralebla). Ankaŭ pli:
 .
  • Mezurebla funkcio f estas integralebla tiam kaj nur tiam, kiam absoluta valoro de ĝi   estas integralebla.
(a)   estas vico de integraleblaj funkcioj, kiu konverĝas preskaŭ ĉie al funkcio f
(b) g estas integralebla funkcio, tiel ke  .
Tiam f estas integralebla funkcio. Kaj ankaŭ pli  .
  • Lemato de Fatou: Se   estas ne malpozitiva vico de integraleblaj funkcioj, tiel ke  , tiam funkcio   difinita per
  por  
estas integralebla. Kaj pli  .