Funkcio (matematiko)

matematika termino; duloka rilato f inter du aroj X (la argumentaro) kaj Y (la celaro), skribata kiel f(x) = y, tia ke por ĉiu argumento x ∈ X, ekzistas maksimume unu (kaj eble neniu) celo y ∈ Y tia ke f(x) = y
Matematikaj funkcioj
Argumentaro, Celaro, Bildaro, Malbildo
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco

En matematiko, funkcio estas duvalenta rilato, kiu rilatigas al ĉiu membro de unu aro da matematikaj objektoj ununuran membron de la dua aro. Ĉi tio estas tre ĝenerala koncepto aperanta en ĉiuj areoj de matematiko kaj pretere. La funkcio estas uzata, interalie, kiel ilo por esprimi interdependecon (situacio, en kiu du variabloj estas interdependaj) kaj, kiel tia, permesas formalan prezenton de la naturo de interdependeco inter malsamaj grandoj en la kampoj de scienco, inĝenierado kaj ekonomiko.

Funkcio, kiu rilatigas figuron al ties koloro

Formala difinoRedakti

X kaj Y estu aroj. Oni diras, ke funkcio f ĵetas X al Y, simbole

 

se f estas tia rilato super  , ke por ĉiu   en f ekzistas nur unu duopo  ; en tia okazo oni skribas  .

La aron X oni nomas la fonta aro, simbole iam D(f); la aron Y, la cela aro, simbole iam E(f).

La aron de ĉiuj valoroj de funkcio f oni nomas ĝia bildo, kaj la aron de ĉiuj x en X, por kiuj f estas difinita, oni nomas ĝia malbildoargumentaro.

Laŭ la ĉi-supra difino de funkcio, la malbildo de funkcio ĉiam koincidas kun la tuta aro X, t.e. ĝia fonta aro koincidas kun ĝia malbildo. Tia funkcio nomiĝas totalaĉiea. Funkciojn ne nepre totalajn oni ofte nomas partaj funkcioj por klare atentigi, ke oni ne supozu, ke ĉiuj funkcioj en la koncerna diskurso nepre estas totalaj, kiel ofte okazas.

Kutime oni uzas la terminon funkcio se la aroj X kaj Y estas nombraj; en okazoj pli ĝeneralaj oni povas uzi ankaŭ la terminojn ĵetobildigo. Se X = Y, oni ofte nomas funkcion transformo.

La notacio y = f(x) oni nomas funkcia notacio, kie x estas sendependa variablo, kaj y - dependa variablo.

Sendependa variablo (la argumento) - la variablo, por ĉiu el kies unuopa valoro povas ekzisti (sola) responda valoro de funkcio.
Dependa variablo (la rezulto) - la variablo donita per la valoroj de la funkcio; ekz. en la funkcio y = sin(x), x - estas la sendependa variablo (argumento), dum y estas dependa variablo.

La rilaton, kiu konsistigas la funkcion, oni povas prezenti kiel regulon determinantan rezulton por ĉiu argumento. La rimedoj por esprimi la regulon povas esti diversaj:

  • Tabela - per la vicoj de argumentoj kaj ĝiaj konformaj signifoj;
  • Grafika - la ordigitaj paroj (x, y), kiuj formas la funkcion, povas esti presentita kiel punktoj M(x, y) de la kartezia sistemo por vidigi la grafikaĵon, en la formo de la linio;
  • Analitika - per egalaĵa formulo, ekz. y = 3x² + 1.

Dependaj difinojRedakti

  • Funkcio estas kreskanta sur iu aro, se por ajnaj elementoj de la aro x₁ < x₂, la malegalaĵo f(x₁) < f(x₂) estas vera. Se por x₁ < x₂, veras la alia malegalaĵo f(x₁) > f(x₂), la funkcio nomiĝas malkreskanta. Ekzemple, funkcio y=x² estas malkreskanta en la intervalo ]-∞;0] kaj estas kreskanta en la intervalo [0;+∞[.
  • Funkcio estas para, se la kampo de difino estas simetria rilate al 0 kaj por ajna x ∈ D(f) estas vera egelaĵo : f(-x) =f(x). Kaj ĝi nomiĝas malpara, se veras : f(-x) = -f(x). Ekzemple, y=x² funkcio estas para, kaj y=xy=x³ estas malparaj.
  • Funkcio estas perioda kun periodo p, kiu ne egalas al 0, se por ajna x ∈ D(f) la nombroj x-p kaj x+p ankaŭ apartenas al D(f) kaj veras la egalaĵo: f(x+p) = f(x), ankaŭ f(x) = f(x-p) kaj f(x) = f(x+kp), kie k estas entjero.
  • Funkcio estas konveksa, se D(f) estas konveksa aro kaj por ajnaj x kaj y el D(f) kaj t ∈ [0;1] estas vera la neegalaĵo :
 
Konveksa funkcio estas kontinua sur D(f) se D(f) estas malferma intervalo, aŭ ĝenerale malferma konveksa subaro de Rn.
  • inversa funkcio al funkcio  , estas funkcio  , por kiu komponaĵo kun funkcio f estas identa funkcio:
  por ĉiuj x ∈ X kaj
  por ĉiuj y ∈ Y

Identa funkcioRedakti

la identa funkcio bildigas ĉiun elementon de iu aro al ĝi mem.

Formale: Por ajna aro A, la identa funkcio de A, nomata   , estas funkcio   tia ke   por ĉiu x en A.

La identa funkcio estas dissurĵeto kaj estas sia propra inverso:

 

Ĝi estas neŭtrala elemento de la funkcia komponaĵo: Por ajna funkcio   validas:

 

Ekzemploj de jes kaj neRedakti

  • La kongruo kiu kongruas por ĉiu persono sia aĝo estas funkcio de la grupo de homoj al la grupo de naturaj nombroj, ĉar ĉiu persono havas ununuran aĝon.
  • La kongruo kiu kongruas al ĉiu reela nombro en ĝia kvadrato estas funkcio de la aro de reelaj nombroj al si. Povas esti priskribita per egaleco  
  • La kongruo kiu kongruas por ĉiu persono la lando de kiu li estas civitano ne estas funkcio ĉar ekzistas homoj kun multoblaj civitanecoj.
  • La kongruo kiu kongruas por ĉiu persono al sia ŝakmezurilo ne estas funkcio ĉar ekzistas homoj, kiuj ne estas rangitaj de FIDE.

Vidu ankaŭRedakti



Eksteraj ligilojRedakti