Funkcio (matematiko)

En matematiko, funkcio estas duvalenta rilato, kiu rilatigas al ĉiu membro de unu aro da matematikaj objektoj ununuran membron de la dua aro. Ĉi tio estas tre ĝenerala koncepto aperanta en ĉiuj areoj de matematiko kaj pretere. La funkcio estas uzata, interalie, kiel ilo por esprimi interdependecon (situacio, en kiu du variabloj estas interdependaj) kaj, kiel tia, permesas formalan prezenton de la naturo de interdependeco inter malsamaj grandoj en la kampoj de scienco, inĝenierado kaj ekonomiko.

Funkcio, kiu rilatigas figuron al ties koloro

Formala difino

X kaj Y estu aroj. Oni diras, ke funkcio f ĵetas X al Y, simbole

$f:X\to Y$

se f estas tia rilato super $X\times Y$, ke por ĉiu $x\in X$ en f ekzistas nur unu duopo $(x,y)\in f$; en tia okazo oni skribas $y=f(x)$.

La aron X oni nomas la fonta aro, simbole iam D(f); la aron Y, la cela aro, simbole iam E(f).

La aron de ĉiuj valoroj de funkcio f oni nomas ĝia bildo, kaj la aron de ĉiuj x en X, por kiuj f estas difinita, oni nomas ĝia malbildo aŭ argumentaro.

Laŭ la ĉi-supra difino de funkcio, la malbildo de funkcio ĉiam koincidas kun la tuta aro X, t.e. ĝia fonta aro koincidas kun ĝia malbildo. Tia funkcio nomiĝas totala aŭ ĉiea. Funkciojn ne nepre totalajn oni ofte nomas partaj funkcioj por klare atentigi, ke oni ne supozu, ke ĉiuj funkcioj en la koncerna diskurso nepre estas totalaj, kiel ofte okazas.

Kutime oni uzas la terminon funkcio se la aroj X kaj Y estas nombraj; en okazoj pli ĝeneralaj oni povas uzi ankaŭ la terminojn ĵeto aŭ bildigo. Se X = Y, oni ofte nomas funkcion transformo.

La notacio y = f(x) oni nomas funkcia notacio, kie x estas sendependa variablo, kaj y - dependa variablo.

Sendependa variablo (la argumento) - la variablo, por ĉiu el kies unuopa valoro povas ekzisti (sola) responda valoro de funkcio.

Dependa variablo (la rezulto) - la variablo donita per la valoroj de la funkcio; ekz. en la funkcio y = sin(x), x - estas la sendependa variablo (argumento), dum y estas dependa variablo.

La rilaton, kiu konsistigas la funkcion, oni povas prezenti kiel regulon determinantan rezulton por ĉiu argumento. La rimedoj por esprimi la regulon povas esti diversaj:

• Tabela - per la vicoj de argumentoj kaj ĝiaj konformaj signifoj;
• Grafika - la ordigitaj paroj (x, y), kiuj formas la funkcion, povas esti presentita kiel punktoj M(x, y) de la kartezia sistemo por vidigi la grafikaĵon, en la formo de la linio;
• Analitika - per egalaĵa formulo, ekz. y = 3x² + 1.

Dependaj difinoj

• Funkcio estas kreskanta sur iu aro, se por ajnaj elementoj de la aro x₁ < x₂, la malegalaĵo f(x₁) < f(x₂) estas vera. Se por x₁ < x₂, veras la alia malegalaĵo f(x₁) > f(x₂), la funkcio nomiĝas malkreskanta. Ekzemple, funkcio y=x² estas malkreskanta en la intervalo ]-∞;0] kaj estas kreskanta en la intervalo [0;+∞[.

• Funkcio estas para, se la kampo de difino estas simetria rilate al 0 kaj por ajna x ∈ D(f) estas vera egelaĵo : f(-x) =f(x). Kaj ĝi nomiĝas malpara, se veras : f(-x) = -f(x). Ekzemple, y=x² funkcio estas para, kaj y=x aŭ y=x³ estas malparaj.

• Funkcio estas perioda kun periodo p, kiu ne egalas al 0, se por ajna x ∈ D(f) la nombroj x-p kaj x+p ankaŭ apartenas al D(f) kaj veras la egalaĵo: f(x+p) = f(x), ankaŭ f(x) = f(x-p) kaj f(x) = f(x+kp), kie k estas entjero.

• Funkcio estas konveksa, se D(f) estas konveksa aro kaj por ajnaj x kaj y el D(f) kaj t ∈ [0;1] estas vera la neegalaĵo :

$f(tx+(1-t)y)\leqslant t\,f(x)+(1-t)\,f(y).$
Konveksa funkcio estas kontinua sur D(f) se D(f) estas malferma intervalo, aŭ ĝenerale malferma konveksa subaro de Rⁿ.

• inversa funkcio al funkcio $f\colon X\to Y$, estas funkcio $f^{-1}\colon Y\to X$, por kiu komponaĵo kun funkcio f estas identa funkcio:

$(f^{-1}\circ f)(x)=x$ por ĉiuj x ∈ X kaj

$(f\circ f^{-1})(y)=y$ por ĉiuj y ∈ Y

Identa funkcio

la identa funkcio bildigas ĉiun elementon de iu aro al ĝi mem.

Formale: Por ajna aro A, la identa funkcio de A, nomata $\mathrm {id}$ aŭ $\mathrm {id} _{A}$, estas funkcio $\mathrm {id} :A\rightarrow A$ tia ke $\mathrm {id} (x)=x$ por ĉiu x en A.

La identa funkcio estas dissurĵeto kaj estas sia propra inverso:

$(\mathrm {id} _{A})^{-1}=\mathrm {id} _{A}$

Ĝi estas neŭtrala elemento de la funkcia komponaĵo: Por ajna funkcio $f:A\rightarrow B$ validas:

$f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f$

Ekzemploj de jes kaj ne

• La kongruo kiu kongruas por ĉiu persono sia aĝo estas funkcio de la grupo de homoj al la grupo de naturaj nombroj, ĉar ĉiu persono havas ununuran aĝon.
• La kongruo kiu kongruas al ĉiu reela nombro en ĝia kvadrato estas funkcio de la aro de reelaj nombroj al si. Povas esti priskribita per egaleco $f(x)=x^{2}$
• La kongruo kiu kongruas por ĉiu persono la lando de kiu li estas civitano ne estas funkcio ĉar ekzistas homoj kun multoblaj civitanecoj.
• La kongruo kiu kongruas por ĉiu persono al sia ŝakmezurilo ne estas funkcio ĉar ekzistas homoj, kiuj ne estas rangitaj de FIDE.

Gravaj funkcioj

Kontinua funkcio estas funkcio, kies valoro malmulte ŝanĝiĝas en okazo de malgranda ŝanĝo de la argumento. Se malgranda ŝanĝo de la argumento povas produkti rompan salton en valoro de la funkcio, la funkcio estas nekontinua. La ĉirkaŭteksto de ĉi tiu termino estas reelo-valoraj funkcioj sur la reela domajno aŭ sur topologia aŭ metrika spacoj escepte la kompleksajn nombrojn. Pri komplekso-valoraj funkcioj vidu artikolon kompleksa analitiko. La rimarkinda diferenco en maniero estas tiu ke en la reela domajno, la punktoj en la domajno kiuj estas punktoj de nekontinueco estas specialaĵoj. Sed en la kompleksa domajno tiaj punktoj estas kutime aparte forprenitaj el la domajno, do la funkcio kontinua en kompleksa domajno estas kontinua sur malkonektita partoj de reela domajno.

Lineara funkcio estas matematika esprimo kun du malsamaj signifoj. Unuflanke, ĝi povas esti ĉiu funkcio $f$ de la formo

$f:\quad \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \quad {\mbox{kun}}\quad x\mapsto f(x)=m\;x+n$.

Tia funkcio reprezentas konstantan kreskon de $f(x)$ rilate al $x$. La grafikaĵo de tia funkcio estas ĉiam rekta linio. Se $m>0$ , tiam $f$ estas kreskanta funkcio; se $m<0$ , ĝi estas malkreskanta; kaj se $m=0$, tiam $f$ estas konstanta funkcio. derivaĵo de lineara funkcio je ĝia sendependa variablo x, egalas al la konstanto m. La problemo kun la supre skizita signifo de lineara funkcio estas, ke tia funkcio ne estas lineara bildigo. Tial multaj matematikistoj nomas tian funkcion kiel afina funkcio, kaj rezervas la esprimon lineara funkcio por linearaj bildigoj.

Polinoma funkcio estas funkcio difinita per polinomo. Polinomo estas esprimo, en kiu konstantoj kaj variabloj estas kombinitaj uzante nur adiciojn, subtrahojn kaj multiplikojn. Polinomo povas esti prezentita kiel sumo de termoj. Tiel,

$2x^{2}yz^{3}-3y^{2}+5yz-2\,$

estas polinomo de grado 6 kun tri variabloj (x, y, z), sed

${1 \over x^{2}+1}\,$

ne estas polinomo. Polinomaj funkcioj estas grava klaso de glataj funkcioj; vorto glata signifas, ke ili estas malfinie diferencialeblaj, t.e. ke ili havas derivaĵojn de ĉiu finia ordo. Pro ilia simpla strukturo, polinomoj estas facile kalkuleblaj, kaj estas ofte uzataj en cifereca analitiko por polinoma interpolado aŭ por ciferece integrali pli komplikajn funkciojn.

Eksponenta funkcio, aŭ eksponencialo, estas unu de la plej gravaj funkcioj en matematiko. Ĝi estas skribita kiel exp(x) aŭ e^x, kie e egalas proksimume al 2.71828183 kaj estas la bazo de la natura logaritmo. Kiel funkcio de la reela variablo x, la grafikaĵo de e^x estas ĉiam pozitiva (super la absciso (x-akso)) kaj rapide pligrandiĝas por x>0. Inversa funkcio de eksponenta funkcio, la natura logaritmo, ln(x), estas difinita por ĉiuj pozitivaj x.

Vidu ankaŭ

• Grafikaĵo
• Elipsa funkcio
• Kontinua funkcio
• Lineara funkcio
• Polinoma funkcio
• Eksponenta funkcio
• Trigonometria funkcio
• Speciala funkcio
• Nulo de funkcio
• Disĵeta funkcio
• Surĵeta funkcio
• Dissurĵeta funkcio

• 
• 
• 
• 

Eksteraj ligiloj

• http://functions.wolfram.com
• http://archives.math.utk.edu/visual.calculus Arkivigite je 2006-01-28 per la retarkivo Wayback Machine
• http://math.hws.edu/xFunctions
• http://geography.about.com/library/misc/bl2capitals.htm
• http://archive.numdam.org/article/CM_1954-1956__12__81_0.pdf La kanonaj formoj de la 2, 3, 4 -dimensiaj paraanalitikaj funkcioj]. Far M. R. Fréchet, en Esperanto, en Revuo Compositio Mathematica, 12 (1954-1956), p. 81-96, formo PDF.