Funkcia komponaĵo

En matematiko, komponita funkcio, formita kiel la komponaĵo de unu funkcio sur alia, prezentas la aplikon de la antaŭa al la rezulto de la apliko de la lasta al la argumento de la komponaĵo. La funkcioj fX → Y kaj gY → Z povas esti komponitaj per unue aplikado f al argumento x kaj tiam aplikado g al la rezulto. Tial oni ricevas funkcion g o f: X → Z difinitan per (g o f)(x) = g(f(x)) por ĉiuj x en X. La notacio g o f estas legata kiel "g cirklo f" aŭ "g post f" aŭ "g komponita kun f". La operacio o en tia kunteksto nomiĝas funkcia komponado.

EkzemploRedakti

 
g o f, la komponaĵo de f kaj g

Kiel ekzemplo, supozu, ke alto de aviadilo je tempo t estas donita per la funkcio h(t) kaj, ke la denseco de oksigeno je alto x estas donita per la funkcio c(x). Tiam (c o h)(t)=c(h(t)) priskribas la densecon de oksigeno apud la aviadilo je tempo t.

NotacioRedakti

En la mezo de la 20-a jarcento, iuj matematikistoj decidis, ke skribi "g o f" por signifi "unue apliki f, tiam apliki g" estis ankaŭ konfuza kaj decidis ŝanĝi notacion. Ili skribis kiel "xf" por "f(x)" kaj "xfg" por "g(f(x))".

Pravigas tian notacion la ideo, ke estas oportune, ke la funkcio, kiun oni aplikas unue, ankaŭ aperas unue en formulo ene de teksto skribita en lingvo, en kiu oni skribas de maldekstre dekstren, kiel, ekzemple, en modernaj hindeŭropaj lingvoj.

Tamen, tiu delokigo neniam populariĝis, kaj nuntempe tiu notacio estas trovata nur en malnovaj libroj, kvankam en iuj branĉoj de matematiko (notinde, en tekstoj rilataj al semigrupo-teorio aŭ, certagrade, al grupo-teorio tia notacio restas tute kutima.

EcojRedakti

La operacio de funkcia komponado estas asocia. Tio estas, se f, g, kaj h estas tri funkcioj kun konvene elektitaj argumentaroj kaj celaroj, tiam  . Ĉar estas nenia distingo inter la elektoj de lokigo de parentezoj, oni povas sekure forlasi ilin. Kiel rezulto, la aro de ĉiuj funkcioj   formas duongrupon kun respekto al la funkcia komponaĵo, kaj la subaro de ĉiuj dissurĵetoj formas grupon, la simetrian grupon  .

La funkcioj g kaj f komutas unu kun la alia se g o f = f o g. Ĝenerale, komponaĵo de funkcioj ne estas komuta. Komuteco estas speciala propraĵo, atingita nur per apartaj funkcioj, kaj ofte en specialaj kondiĉoj. Ekzemple,   en reeloj nur kiam  ; por ĉiuj negativaj x, la unua esprimo estas nedifinita. Inversaj funkcioj ĉiam komutas kaj produktas la idento-bildigon.

Derivaĵoj de komponaĵo de diferencialeblaj funkcioj povas troviĝi uzante la ĉenan regulon:

 

 

kie la punkto " · " prezentas la ordinaran multiplikon de nombroj, aŭ

 

Pli altaj derivaĵoj de tiaj funkcioj estas donitaj per la formulo de Faà di Bruno.

Funkciaj potencojRedakti

Se YX tiam f povas komponiĝi kun si; ĉi tio estas iam signifita kiel f 2. Tial:

 
 

Ripetita komponaĵo de funkcio kun si estas iam nomata kiel funkcia ripeto.

La funkciaj potencoj f o f nf n o ff n+1 por naturaj n sekvas senpere.

Laŭ konvencio, f 0 = idD(f) (la identa surĵeto sur la argumentaro de f).

Se por f:XX estas la inversa funkcio, negativaj funkciaj potencoj f -k (k > 0) estas difinitaj kiel la kontraŭaj potencoj de la inversa funkcio, (f −1)k.

Noto: Se f prenas siajn valorojn en ringo (en aparta por reela aŭ komplekso-valora f ), estas risko de konfuzo, kiel n povis ankaŭ stari por la n-a algebra potenco de valoro de f, ekzemple povas esti konsiderate kiel f 2(x) = (f (x))2 = f(x) · f(x).

(Por kutimaj ciferecaj funkcioj, kutime la lasta estas intencita, almenaŭ por pozitivaj eksponentoj. Ekzemple ĉi tiu supra indeksa notacio ofte prezentas norman potencigon de trigonometriaj funkcioj: sin2(x) =  sin(x) ·  sin(x). Tamen, por negativaj eksponentoj (aparte −1), ĝi tamen kutime signifas la inversan funkcion, do, tan−1(x) = arctan(x) (sed ≠ 1/tan(x))).

En iuj okazoj, esprimo por f en g(x) =  f r(x) povas esti derivita de la regulo por g donita ne-entjeraj valoroj de r. Tio estas nomata frakcia ripeto.

Ripetitaj funkcioj okazas nature en la studo de fraktaloj kaj dinamikaj sistemoj.

Komponaĵa operatoroRedakti

Por donita funkcio g, la komponado-operatorokomponaĵa operatoro   estas difinita kiel tiu operatoro kiu mapas funkciojn al funkcioj kiel

 

Komponaĵaj operatoroj estas studita en la kampo de operatora teorio.

Vidu ankaŭRedakti