Funkcia komponaĵo

En matematiko, komponita funkcio, formita kiel la komponaĵo de unu funkcio sur alia, prezentas la aplikon de la antaŭa al la rezulto de la apliko de la lasta al la argumento de la komponaĵo. La funkcioj f: X → Y kaj g: Y → Z povas esti komponitaj per unue aplikado f al argumento x kaj tiam aplikado g al la rezulto. Tial oni ricevas funkcion g o f: X → Z difinitan per (g o f)(x) = g(f(x)) por ĉiuj x en X. La notacio g o f estas legata kiel "g cirklo f" aŭ "g post f" aŭ "g komponita kun f". La operacio o en tia kunteksto nomiĝas funkcia komponado.

Ekzemplo

$g\circ f$, la komponaĵo de $f$ kaj $g$

Kiel ekzemplo, supozu, ke alto de aviadilo je tempo $t$ estas donita per la funkcio $h(t)$ kaj, ke la denseco de oksigeno je alto $x$ estas donita per la funkcio $c(x)$. Tiam $(c\circ h)(t)=c(h(t))$ priskribas la densecon de oksigeno apud la aviadilo je tempo $t$.

Notacio

En la mezo de la 20-a jarcento, iuj matematikistoj decidis, ke skribi "g o f" por signifi "unue apliki f, tiam apliki g" estis ankaŭ konfuza kaj decidis ŝanĝi notacion. Ili skribis kiel "xf" por "f(x)" kaj "xfg" por "g(f(x))".

Pravigas tian notacion la ideo, ke estas oportune, ke la funkcio, kiun oni aplikas unue, ankaŭ aperas unue en formulo ene de teksto skribita en lingvo, en kiu oni skribas de maldekstre dekstren, kiel, ekzemple, en modernaj hindeŭropaj lingvoj.

Tamen, tiu delokigo neniam populariĝis, kaj nuntempe tiu notacio estas trovata nur en malnovaj libroj, kvankam en iuj branĉoj de matematiko (notinde, en tekstoj rilataj al semigrupo-teorio aŭ, certagrade, al grupo-teorio tia notacio restas tute kutima.

Ecoj

La operacio de funkcia komponado estas asocia. Tio estas, se $f$, $g$, kaj $h$ estas tri funkcioj kun konvene elektitaj argumentaroj kaj cela aroj, tiam $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$. Ĉar estas nenia distingo inter la elektoj de lokigo de parentezoj, oni povas sekure forlasi ilin. Kiel rezulto, la aro de ĉiuj funkcioj $f:X\rightarrow X$ formas duongrupon kun respekto al la funkcia komponaĵo, kaj la subaro de ĉiuj dissurĵetoj formas grupon, la simetrian grupon $\operatorname {Sym} (X)$.

La funkcioj $g$ kaj $f$ komutas unu kun la alia se $g\circ f=f\circ g$. Ĝenerale, komponaĵo de funkcioj ne estas komuta. Komuteco estas speciala propraĵo, atingita nur per apartaj funkcioj, kaj ofte en specialaj kondiĉoj. Ekzemple, $({\sqrt {x}})^{2}={\sqrt {x^{2}}}$ en reeloj nur kiam $x\geq 0$; por ĉiuj negativaj $x$, la unua esprimo estas nedifinita. Inversaj funkcioj ĉiam komutas kaj produktas la identan funkcion.

Derivaĵoj de komponaĵo de diferencialeblaj funkcioj povas troviĝi uzante la ĉenan regulon:

$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$

aŭ

$(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$

kie la punkto " · " prezentas la ordinaran multiplikon de nombroj, aŭ

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} g}}\cdot {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}$

Pli altaj derivaĵoj de tiaj funkcioj estas donitaj per la formulo de Faà di Bruno.

Funkciaj potencoj

Se $Y\subset X$ tiam $f$ povas komponiĝi kun si; ĉi tio estas iam signifita kiel $f^{2}$. Tial:

$(f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)$

$(f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)$

Tia plurobla komponado de funkcio kun si mem, estas iam nomata funkcia ripeto.

La funkciaj potencoj $f\circ f^{n}=f^{n}\circ f=f^{n+1}$ por naturaj $n$ sekvas senpere.

Laŭ konvencio, $f^{0}=id_{D(f)}$ (la identa funkcio sur la argumentaro de $f$).

Se por $f:X\rightarrow X$ ekzistas la inversa funkcio, negativaj funkciaj potencoj $f^{-k}(k>0)$ estas difinitaj kiel la respektivaj potencoj de la inversa funkcio, $(f^{-1})^{k}$.

Noto: Se sur la cela aro de funkcio $f$ estas difinita multiplikado (kiel, ekzemple, por reela aŭ komplekso-valora $f$), ekzistas risko de konfuzo, ĉar notacio $f^{n}$ povas esti komprenita ankaŭ kiel la $n$-a algebra potenco de la valoro de $f$; ekzemple, povas esti konsiderate, ke $f^{2}(x)=(f(x))^{2}=f(x)\times f(x)$.

(Por kutimaj nombraj funkcioj, ĝuste la lasta senco estas kutime intencita, almenaŭ por pozitivaj potencoj. Ekzemple, ĉi tiu supra indeksa notacio ofte prezentas norman potencigon de trigonometriaj funkcioj: $sin^{2}(x)=sin(x)\cdot sin(x)$. Tamen, por negativaj eksponentoj (aparte -1), ĝi tamen kutime signifas la inversan funkcion, do, $tan^{-1}(x)=arctan(x)$ (sed $\neq 1/tan(x)$)).

En iuj okazoj, esprimoj $f^{r}(x)$ povas esti kohere difinitaj por ne-entjeraj valoroj de $r$. Tio estas nomata frakcia ripeto.

Ripetitaj funkcioj okazas nature en la studado de fraktaloj kaj dinamikaj sistemoj.

Komponaĵa operatoro

Por donita funkcio $g$, la komponado-operatoro aŭ komponaĵa operatoro $C_{g}$ estas difinita kiel tiu operatoro kiu mapas funkciojn al funkcioj kiel

$C_{g}f=f\circ g$

Komponaĵaj operatoroj estas studita en la kampo de operatora teorio.

Vidu ankaŭ

• Kombina logiko
• Funkcia komponaĵo (komputiko)
• Funkcio de pli alta ordo
• Lambda kalkulo
• Funkcia kvadrata radiko