Grupo (algebro)
|
Por samtitola artikolo vidu la paĝon Grupo. |
Grupo estas esenca koncepto de moderna matematiko, unu el la plej gravaj kaj vaste uzataj algebraj strukturoj.
Grupo-teorio
redaktiLa grupoteorio aŭ teorio de grupoj studas en ĝenerala formo la specon de operacioj tre kutimaj kaj vaste uzataj en matematiko kaj en ĝiaj variaj branĉoj, kiel ekz-e adicio de nombroj, adicio de vektoroj, sinsekva plenumo de transformoj ktp. Samtempe, grupoteorio studas ne arbitrajn operaciojn, sed nur tiajn, kiuj havas la ecojn, kiujn preskribas la difino de la nocio grupo.
Formala difino
redaktiGrupo (G,•) estas nemalplena aro G kune kun interna duvalenta operacio •, per kiu al ĉiu duopo de elementoj a kaj b el G estas difinita iu elemento a • b ankaŭ el G tiel, ke
- (a • b) • c = a • (b • c) por ĉiuj a, b, c ∈ G;
- en G ekzistas elemento e, nomata neŭtrala elemento tia, ke a • e = e • a = a por ajna a ∈ G;
- por ajna elemento a ∈ G ekzistas tia elemento a⁻¹ (inversa al a), ke a • a⁻¹ = a⁻¹ • a = e.
- Ekzemplo
- se ℤ estas aro de ĉiuj entjeroj, kaj operacio sur ℤ estas simpla operacio de adicio, tiam la aro ℤ estas grupo. La rolon de neŭtrala elemento plenumas nombro 0 kaj la rolon de inversa elemento por z - nombro −z.
La parto H de la aro ℤ, konsistanta el ĉiuj paraj nombroj, mem estas grupo rilate al la sama operacio. En tiu kazo, oni diras ke H estas subgrupo de la grupo ℤ. Ambaŭ grupoj ℤ kaj H kontentigas la suplementan kondiĉon : a + b = b + a por ajnaj a kaj b el la grupo.
La koncepto «grupo» rolis kiel modelo por transformo de algebro kaj ĝenerale de matematiko ĉe la limo inter la 19–a kaj la 20-a jarcentoj. La fonton de origino de la nocio «grupo», oni trovas en kelkaj disciplinoj: teorio pri solvado de algebraj ekvacioj (Joseph-Louis de Lagrange, A.Vandermonde, P.Ruffini), geometrio (August Ferdinand Möbius, Felix Klein), nombroteorio (Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss).
Grupoteorio havas kelkajn gravajn fakojn: teorio de finiaj grupoj, teorio de abelaj (t.e. komutaj) grupoj, teorio de reprezentoj de grupoj kaj aliaj.
Vidu ankaŭ
redakti