Algebra strukturo

En moderna matematiko, "algebra strukturo" estas loze difinita termino signifanta la matematikajn objektojn tradicie studatajn en la kampo de abstrakta algebro: aroj kun operacioj.

En universala algebro, oni studas algebrajn strukturojn konsistantajn el aro kaj kolekto da operacioj difinitaj sur la aro, por kiuj validas certaj identoj.

La vorto "strukturo" povas signifi kaj specifan matematikan objekton, kaj pli abstraktan koncepton. Ekzemple, la monstra grupo samtempe estas algebra strukturo, kaj ĝi havas algebran strukturon: la strukturon komunan al ĉiuj grupoj. Ĉi tiu artikolo uzas ambaŭ sencojn de la termino.

Strukturoj kies aksiomoj ĉiuj estas identecojRedakti

Ĉiuj aksiomoj de strukturoj en ĉi tio sekcio estas identecoj, aŭ egalaĵoj, kiel ekzemple propraĵo de adicio ke a+b = b+a por ĉiuj a kaj b.

Simplaj strukturoj: Neniu duuma operacio:

Grupoecaj strukturoj: Unu duuma operacio

Ringoecaj strukturoj: Du duumaj operacioj

Moduloj: Sistemoj difinitaj super du aroj, M kaj R:

Alĝebroj
Latisoj

Strukturoj kun aksiomoj kiuj ne estas identecojRedakti

La strukturoj en ĉi sekcio ne estas variaĵoj, ĉar ili ne eblas aksiomigi ili sole per identecoj.

Unu ampleksigo de la koncepto de algebra strukturo estas studi arojn kun operacioj, kiuj devas kontentigi aksiomoj escepte identoj.

La pli supraj strukturoj estas ĉiuj formalaj sistemoj, ili konsistas pure el difinoj kaj ne metas iujn ajn limigajn kondiĉojn sur la strukturojn. En la difino de kampo pli sube estas la limiga kondiĉo 0 (la alsuma idento) ≠ 1 (la multiplika idento. Por ke tiu estu pure formala strukturo neniu tia kondiĉo devus lokiĝi. Tamen, se 0=1 tiam la strukturo kolapsas. De ĉi tie, necesa limigo (, ke, kiu) 0 ≠ 1 bezonas lokiĝi por certigi, ke ni havos utilan matematikan eternecon. Kvankam ĉi tiuj strukturoj sendube havas algebran gustigi, ili suferas de difektoj ne trovitaj en universala algebro. Ekzemple, ne ekzistas produto de du integrecaj ringoj, nek libera kampo super iu ajn aro.

  • Integreca ringo: ringo kun 0 ≠ 1, kiu havas neniujn nuldivizorojn escepte 0
  • Korpo: integreca ringo kun inversa operacio (la inversa operacio estas ne difinita por la nulo)
  • Kampo: komuta korpo
  • Artinian-ringo: ringo kiu kontentigas la descendantan ĉenan kondiĉon sur idealoj.
Aritmetikaĵoj
Kamp-similaj strukturoj

Kombinitaj sistemoj: vektoraj spacoj kaj algebroj sur kampoj

Tri duumaj operacioj
Kvar duumaj operacioj
Kombinitaj sistemoj
multliniaraj algebroj

EkzemplojRedakti

  • La (ne-nulo) naturaj nombroj kun aldono (+) estas magmo.
  • La nenegativaj entjeroj sub aldono estas magmo kun idento.
  • La entjeroj Z kun subtraho (−) formas kvazaŭgrupon.
  • La nenulo racionaloj Q kun divido (÷) formas kvazaŭgrupon.
Grup-similaj strukturoj
  • Ĉiu grupo estas ciklo, ĉar a * x = b se kaj nur se x = a−1 * b, kaj y * a = b se kaj nur se y = b * a−1.
  • La entjeroj Z kun aldono (+) formas komutan grupon.
  • La ne-nulo racionaloj Q kun multipliko (×) formas komutan grupon.
  • Du per du matricoj kun multipliko ariĝi (ne komuta).
  • Ĉiu cikla grupo G estas abela, ĉar se x, y estas en G, tiam _xy_ = aman = am + n = an + m = anam = _yx_. En aparta, la entjeroj Z formas komutan grupon sub adicio, kiel fari la entjeroj module n

Z/nZ.

Latisoj
Ring-similaj strukturoj
  • La naturaj nombroj (inkluzive nulon), kun la ordinara adicii kaj multipliko estas komuta duonringo.
  • La aro R[X] de ĉiuj polinomoj super iu koeficienta ringo R formas ringon.
  • Du per du matricoj kun aldono kaj multipliko formas ringon (ne komutan).
  • Finia ringo: Se n estas pozitiva entjero, tiam la aro Zn = Z/nZ de entjeroj module n (kiel adicia grupo la cikla grupo de ordo n ) formas ringon kun n eroj (vidu artikolon modula aritmetiko).
Integrecaj ringoj
  • La entjeroj kun la du operacioj de aldono kaj multipliko formas integrecan ringon.
  • La p-adic-aj entjeroj.
Kampoj
  • La racionalaj nombroj kun adicio kaj multipliko formas kampon.
  • La reelaj nombroj R, sub la kutimaj operacioj adicio kaj multipliko.
  • Kiam la reelaj nombroj estas donitaj la kutima (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo) ili formas plenumi ordita kampo kiu estas kategoria — ĝi estas ĉi tiun strukturon kiu provizas la fundamenton por plej formalaj traktoj de kalkulo.
  • La kompleksaj nombroj C, sub la kutimaj operacioj adicio kaj multipliko.
  • Algebra nombra kampo estas finia kampa vastigaĵo de la racionalaj nombroj Q, tio estas, kampo enhavanta Q kiu havas finian dimension kiel vektora spaco super Q. Tiaj kampoj estas tre gravaj en nombroteorio.
  • Se q > 1 estas povo de primo, tiam ekzistas (ĝis izomorfio) precize unu finia kampo kun q elementoj: Fq, Z/qZ, aŭ GF(q). Ĉiu alia finia kampo estas izomorfia al unu el ĉi tiuj kampoj. Tiajn kampojn oni ofte nomas kampoj de Galois, ek kio fontas la notacio GF(q) [pro la anglalingva Galois Field].
    • Donite primon p, la aro de entjeroj module p estas finia kampo kun p eroj: Fp = {0, 1, …, p − 1} kie la operacioj estas difinitaj per plenumado de la operacio en Z, dividanta per p kaj prenante la reston; vidu artikolon modula aritmetiko.

Permesado de aldona strukturoRedakti

Algebraj strukturoj povas ankaŭ esti difinitaj sur aroj kun aldona ne-algebra strukturo, kiel topologia spaco. La algebra strukturo estas postulita esti iel kongrua kun la aldona strukturo.

Teorio de kategoriojRedakti

Ĉiu algebra strukturo havas sian propran nocion de homomorfio, nome funkcio, kiu estas kongrua kun la operacio(j) difinanta(j) la strukturon. Tiamaniere, ĉiu algebra strukturo difinas kategorion.

Ekzemple, la kategorio de grupoj havas ĉiujn grupojn kiel objektojn kaj ĉiujn grupajn homomorfiojn kiel strukturkonservantajn transformojn. Ĉi tiu konkreta kategorio povas esti konsideratata kiel kategorio de aroj kun aldonita strukturo en la kategorio-teoria senco. Simile, la kategorio de topologiaj grupoj (kun kontinuaj grupaj homomorfioj kiel strukturkonservantaj transformoj) estas kategorio de topologiaj spacoj kun superflua strukturo.

Ekzistas diversaj konceptoj en la teorio de kategorioj kiuj provas enkapti la algebran karakteron de kunteksto, ekzemple

  • algebreca
  • esence algebreca
  • prezentebla
  • loke prezentebla
  • universala propraĵo

Vidu ankaŭRedakti

ReferencojRedakti

  • Garrett Birkhoff kaj Saunders MacLane, 1999 (1967). Algebra, 2nd ed. Chelsea.
  • Michel, Anthony N., kaj Herget, Charles J., 1993 (1981). Applied Algebra and Functional Analysis. Dover.

Monografo senpage havebla perrete:

Teorio de kategorioj:

Eksteraj ligilojRedakti