Komuta ringo

En ringa teorio, branĉo de abstrakta algebro, komuta ringo estas ringo en kiu la multiplika operacio obeas la komutan leĝon. Ĉi tio signifas ke se a kaj b estas iuj ajn elementoj de la ringo, tiam a×b=b×a.

La studado de komutaj ringoj estas nomata komuta algebro.

Envicigo

komutaj ringoj ⊃ integrecaj ringoj ⊃ integrece fermitaj ringoj ⊃ faktorecaj ringoj ⊃ ĉefidealaj integrecaj ringoj ⊃ eŭklidaj ringoj ⊃ kampoj

Ekzemploj

• La plej grava ekzemplo estas la ringo de entjeroj kun la du operacioj, adicio kaj multipliko. Ordinara multipliko de entjeroj estas komuta. Ĉi tiu ringo estas kutime signita kiel $\mathbb {Z}$ de la germana vorto Zahlen (nombroj).
• La racionalaj nombroj, reelaj nombroj kaj kompleksaj nombroj formas komutajn ringojn; fakte, ili estas eĉ kampoj.
• Pli ĝenerale, ĉiu kampo estas komuta ringo, do la klaso de kampoj estas subklaso de la klaso de komutaj ringoj.
• La plej facila ekzemplo de ne-komuta ringo estas la aro de ĉiu kvadrataj 2*2 matricoj kies elementoj estas reelaj nombroj. La matrica multipliko

${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}$

estas ne egala al la multipliko en la kontraŭa ordo:

${\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.$

• Se n estas pozitiva entjero, tiam la aro $\mathbb {Z} _{n}$ de entjeroj module je n formas komutan ringon kun n elementoj (vidu modula aritmetiko).
• Se R estas donita komuta ringo, tiam la aro de ĉiuj polinomoj kun variablo X kies koeficientoj estas de R formas novan komutan ringon, signitan R[X].
• Simile, la aro de formalaj potencoserioj R(X₁,...,X_n) super komuta ringo R estas komuta ringo. Se R estas kampo la ringo de formalaj potencoserioj estas speciala speco de komuta ringo, nomata loka ringo.