Integreca ringo

Integreca ringo[1]integreca domajno estas komuta ringo kun multiplika neŭtrala elemento, , kaj sen nuldivizoroj, do .

DifinoRedakti

Pri komuta ringo  , la jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj:

  •  , kaj ĝi ne enhavas nuldivizoron.
  • La nulidealo (0) estas prima idealo.
  •  , kaj ĉiu nenula elemento   estas forigebla sub multipliko, t.e. se  , do  
  • La aro de nenulaj elementoj konsistigas monoidon laŭ multipliko (ĉar monoido postulas fermitecon:  ).
  • Ĉiu elemento   estas regula: la funkcio  ,   estas disĵeta.
  •   estas izomorfa al subringo de korpo.

Integreca ringo estas ringo, kiu plenumas unu (kaj do ĉiujn) el la ĉi-supraj kondiĉoj.

PropraĵojRedakti

Validas jenaj klas-inkluzivoj:

komutaj ringojintegrecaj ringojintegrece fermitaj ringojfaktorecaj ringojĉefidealaj integrecaj ringojeŭklidaj ringojkomutaj korpoj

Ĉiu integreca ringo povas esti enigita en korpon; la plej malgranda tia korpo estas la korpo de frakcioj de la integreca ringo.

EkzemplojRedakti

Ekzemploj estas la entjeroj kaj la reelaj polinomoj. Ĉiu kampo estas integreca ringo. Aliaflanke ĉiu finia aro kun integrecringostrukturo estas kampo. Pruvo: Por ĉiu   en integreca ringo ekzistas disĵeta funkcio  , kiu sendas ĉiun   en la integrecringo al  . Ĉiu disĵeta funkcio kun finia fontaro estas inversigebla. Do   estas inversigebla. Tiel   estas bildo de iu  , kaj tiu elemento estas la inverso de  .

La plej supra kondiĉo implicas ecojn, kiujn havas nur la integrecaj ringoj. Ekzemple, ĝi permesas aserti ke   , ĉar   . Do tiu koncepto montras, ke la eco, ke   , estas unu el tiuj, kiuj ĝeneraligas la entjerojn, reelajn polinomojn kaj aliajn ringojn.

La kongruecaj klasoj de entjeroj module je   estas integreca ringo se kaj nur se   estas primo. Rimarku, ke, se   estas primo,   . Ĉiu integreca ringo de kongruecaj klasoj module je   estas kampo.

ReferencojRedakti

Eksteraj ligilojRedakti