Korpo de frakcioj

En matematiko, ĉiu integreca ringo povas esti enigita en korpon; la plej malgranda tia korpo estas la korpo de frakcioj de la integreca ringo. La elementoj de la korpo de frakcioj de la integreca ringo R havas formon a/b kun a kaj b en R kaj b ≠ 0. La korpo de frakcioj de la ringo R estas iam simboligita per Quot(R) aŭ Frac(R). La korpo de frakcioj de la ringo de entjeroj estas la korpo de racionaloj, Q = Quot(Z). La korpo de frakcioj de korpo estas izomorfia al la korpo mem.

Oni povas konstrui la korpon de frakcioj Quot(R) de la integreca ringo R kiel sekvas: Quot(R) estas la aro de ekvivalento-klasoj de paroj (n, d), kie n kaj d estas eroj de R, kaj d estas ne 0, kaj la ekvivalentrilato estas:

(n, d) estas ekvivalento al (m, b) se kaj nur se nb=md (oni konsideras la klason (n, d) kiel la frakcio n/d)

La enigo estas donita per n$\mapsto$(n, 1). La sumo de la ekvivalento-klasoj de (n, d) kaj (m, b) estas la klaso de (nb + md, db) kaj ilia produto estas la klaso de (mn, db).

La korpo de frakcioj de R estas karakterizita per jena universala propraĵo: se f : R → F estas ringa homomorfio de R en korpon F, tiam ekzistas unika ringa homomorfio g : Quot(R) → F kiu etendas f.

Estas kategori-teoria interpretado de ĉi tiu konstruado. Estu C la kategorio de integrecaj ringoj kaj disĵetaj ringaj homomorfioj. La funktoro de C al la kategorio de korpoj kiu ĵetas ĉiun integrecan ringon al ĝia frakcikorpo kaj ĉiun ringan homomorfion al la rilata korpa homomorfio konkludis (kiu ekzistas per la universala propraĵo) estas la maldekstra adjunkto de la forgesema funktoro de la kategorio de korpoj al C.

Terminologio

Matematikistoj nomas tiun konstruadon la kvocienta korpo, korpo de frakcioj, aŭ frakcia korpo. Malgraŭ la simila nomo, oni ne konfuzu tion kun la kvociento de ringo per idealo, kio estas tute alia nocio.

Vidu ankaŭ

• Lokaligo de ringo, kiu ĝeneraligas la korpon de frakcia konstruado
• Kvocienta ringo - kvankam kvocientaj ringoj povas esti korpoj, ili estas tute malsamaj de frakcikorpoj.