En ringo-teorio , ringa homomorfio estas funkcio inter du ringoj konservanta la algebran strukturon (adicion kaj multiplikon) de la ringoj.
Se
(
R
,
0
R
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (R,0_{R},+,\cdot )}
(
S
,
0
S
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (S,0_{S},+,\cdot )}
ringoj , tiam homomorfio de
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
funkcio
f
:
R
→
S
{\displaystyle f\colon R\to S}
f
:
(
R
,
0
R
,
+
)
→
(
S
,
0
S
,
+
)
{\displaystyle f\colon (R,0_{R},+)\to (S,0_{S},+)}
grupa homomorfio inter komutaj grupoj . Alivorte,
f
(
r
+
r
′
)
=
f
(
r
)
+
f
(
r
′
)
{\displaystyle f(r+r')=f(r)+f(r')}
r
,
r
′
∈
R
{\displaystyle r,r'\in R}
f
(
0
R
)
=
0
S
{\displaystyle f(0_{R})=0_{S}}
f
(
−
r
)
=
−
f
(
r
)
{\displaystyle f(-r)=-f(r)}
f
:
(
R
,
⋅
)
→
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle f\colon (R,\cdot )\to (S,\cdot )}
homomorfio inter duongrupoj . Alivorte,
f
(
r
⋅
r
′
)
=
f
(
r
)
⋅
f
(
r
′
)
{\displaystyle f(r\cdot r')=f(r)\cdot f(r')}
r
,
r
′
∈
R
{\displaystyle r,r'\in R}
En la kunteksto de unuohavaj ringoj oni ofte aldonas la postulon ke la funkcio ankaŭ konservu la unuon (t.e. multiplikan neŭtralan elementon ). Pli detale:
Se
(
R
,
0
R
,
+
,
1
R
,
⋅
)
{\displaystyle (R,0_{R},+,1_{R},\cdot )}
(
S
,
0
S
,
+
,
1
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,0_{S},+,1_{S},\cdot )}
unuohavaj ringoj , homomorfio de
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
funkcio
f
:
R
→
S
{\displaystyle f:R\to S}
La bildo de unuo estu unuo, t.e.
f
(
1
R
)
=
1
S
{\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}
Por iu ringo R , estu
f
:
R
→
R
2
×
2
{\displaystyle f:R\to R^{2\times 2}}
r
↦
f
(
r
)
=
[
r
0
0
0
]
{\displaystyle r\mapsto f(r)={\begin{bmatrix}r&0\\0&0\end{bmatrix}}}
Tiam
f
{\displaystyle f}
f
(
1
R
)
=
[
1
R
0
0
0
]
≠
[
1
R
0
0
1
R
]
=
1
R
2
×
2
{\displaystyle f(1_{R})={\begin{bmatrix}1_{R}&0\\0&0\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1_{R}&0\\0&1_{R}\end{bmatrix}}=1_{R^{2\times 2}}}
do la bildo de la unuo en
R
{\displaystyle R}
R
2
×
2
{\displaystyle R^{2\times 2}}
f
{\displaystyle f}
homomorfio de unuohavaj ringoj .
Alia funkcio
g
:
R
→
R
2
×
2
{\displaystyle g:R\to R^{2\times 2}}
r
↦
g
(
r
)
=
[
r
0
0
r
]
{\displaystyle r\mapsto g(r)={\begin{bmatrix}r&0\\0&r\end{bmatrix}}}
plenumas la unuajn du postulojn por ringa homomorfio, kaj ankaŭ
g
(
1
R
)
=
[
1
R
0
0
1
R
]
=
1
R
2
×
2
{\displaystyle g(1_{R})={\begin{bmatrix}1_{R}&0\\0&1_{R}\end{bmatrix}}=1_{R^{2\times 2}}}
do
g
{\displaystyle g}
homomorfio de unuohavaj ringoj .
