Grupa homomorfio

En grupa teorio, grupa homomorfio estas homomorfio inter grupoj, t.e. funkcio kiu konservas la algebran strukturon de grupoj (multipliko, inverso, neŭtrala elemento).

Difino

Se $G$ kaj $H$ estas grupoj, do grupa homomorfio de $G$ al $H$ estas funkcio $f\colon G\to H$ plenumanta la jenan aksiomon:

• Por ajnaj elementoj $g,g'\in G$, do $f(g\cdot g')=f(g)\cdot f(g')$.

El tio sekvas, tia funkcio konservas ankaŭ la aliajn strukturojn de la grupo (inverson, neŭtralan elementon):

• $f(g)=f(1_{G}\cdot g)=f(1_{G})\cdot f(g)$; tial $f(1_{G})=1_{H}$.
• $1_{H}=f(1_{G})=f(g\cdot g^{-1})=f(g)\cdot f(g^{-1})$; tial $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$.

Ekzemploj

• La funkcio $\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},\,z\mapsto \mathrm {e} ^{z}$ verigas $\mathrm {e} ^{z+z'}=\mathrm {e} ^{z}\times \mathrm {e} ^{z'}$. Ĝi do estas grupa homomorfio de $(\mathbb {C} ,+)$ al $(\mathbb {C} ^{*},\times )$.
• La funkcio $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\,x\mapsto x\mod n$ estas grupa homomorfio de $(\mathbb {Z} ,+)$ al $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)$.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Group homomorphism en MathWorld.