Ringo-teorio

fako de abstrakta algebro

En matematiko, ringo-teorioringoteorio estas la studo pri ringoj, algebraj strukturoj en kiuj adicio kaj multipliko estas difinitaj kaj havas similajn propraĵojn al tiuj familiaraj de la entjeroj.

Bonvolu konsulti la glosaron de ringo-teorio por la difinoj de terminoj uzataj tra ringo-teorio.

HistorioRedakti

La studo de ringoj devenis de la teorio de polinomringoj kaj la teorio de algebraj entjeroj. Plue, la apero de hiperkompleksaj nombroj en la mezo de la 19-a jarcento subfosis la antaŭ-moŝtecon de kampoj en analitiko.

Richard Dedekind prezentis la koncepton de ringo.

La termino ringo (Zahlring) estis elpensita de David Hilbert en la artikolo Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, volumo 4, 1897.

La unua aksioma difino de ringo estis donita per Adolf Fraenkel en eseo en Ĵurnalo für die reine und angewandte Mathematik (A. L. Crelle), volumo 145, 1914.

En 1921, Emmy Noether donis la unuan aksioman fundamenton de la teorio de komutaj ringoj en sia monumenta papero Ideala teorio en ringoj.

EnkondukoRedakti

DifinoRedakti

Formale, ringo estas komuta grupo (R, +), kaj ankaŭ dua operacio (matematiko)   tia, ke por ĉiuj a, b kaj c en R,

 
 
 

kaj tia, ke rilate operacion   ekzistas neŭtrala elemento, aŭ unuo, t.e. tia elemento 1, ke por ĉiuj a en R,

 

La komuta grupo (R, +) nomiĝas adicia grupo de la ringo, kaj la operacio   kutime nomiĝas multipliko.

Ne ĉiuj aŭtoroj igas la ekziston de multiplika neŭtrala elemento parto de la difino de ringo, t.e. la difino allasas ringojn sen unuo, kiel oni kutime nomas multiplikan neŭtralan elementon. Ekzemple, paraj entjeroj rilate aritmetikajn operaciojn de adiciado kaj multiplikado formas ringon sen unuo. En tiaj kuntekstoj ringon, kiu fakte havas la multiplikan neŭtralan elementon, oni nomas unuohava ringoringo kun unuo.

Bazaj nociojRedakti

Estas simple montri, ke iu ajn ringo en kiu 1 = 0 devas havi nur unu elementon; iu ajn tia ringo estas nomata nula ringo.

Subaroj de ringo, kiuj mem estas ringoj rilate la operaciojn de la origina ringo, estas nomataj subringoj. Funkcioj inter ringoj, kiuj respektas la ringajn operaciojn, nomiĝas ringaj homomorfioj. Ringoj kune kun ringaj homomorfioj, formas kategorion. Proksime rilata estas la nocio de idealoj, certaj subaroj de ringoj, kiuj servas kiel kernoj de homomorfioj kaj povas servi por difini faktor-ringojn. Bazajn faktojn pri idealoj, homomorfioj kaj faktor-ringoj formas la tiel nomataj teoremoj pri izomorfeco ĝenerale validaj por multaj klasoj de algebraj strukturoj: grupoj, moduloj ktp.

Ringo nomiĝas komuta ringo, se ĝia multipliko estas komuta. Komutaj ringoj similas familiarajn nombrosistemojn, kaj diversaj difinoj por komutaj ringoj estas fasonitaj por reakiri konatajn ecojn de la entjeroj. Komutaj ringoj estas gravaj ankaŭ en algebra geometrio. En teorio pri komutaj ringoj, nombroj estas ofte anstataŭigitaj per idealoj, kaj la difino de prima idealo peras la esencon de primoj. Integrecaj ringoj, ne-bagatelaj komutaj ringoj kie neniuj du ne-nulaj eroj inter si multiplikitaj donas nulon, ĝeneraligas la alian propraĵon de la entjeroj kaj servas kiel la pozitiva regno por studi divideblecon. Ĉefidealaj ringoj estas integrecaj ringoj en kiuj ĉiu idealo povas esti generita per sola ero, alia propraĵo komuna kun la entjeroj. Eŭklidaj ringoj estas integrecaj ringoj en kiuj la eŭklida algoritmo por plej granda komuna divizoro povas funkcii. Gravaj ekzemploj de komutaj ringoj povas esti konstruitaj kiel ringoj de polinomoj kaj iliaj faktoraj ringoj. Enkonduko: eŭklida ringo => ĉefideala ringo => faktoreca ringo => integreca ringo => komuta ringo.

Ne-komutaj ringoj similas ringojn de matricoj en multaj aspektoj. Sekve la modelo de algebra geometrio, provas esti farita nur je difinanta ne-komuta geometrio bazita sur ne-komutaj ringoj.

Ne-komutaj ringoj kaj asociecaj algebroj (ringoj, kiuj estas ankaŭ vektoraj spacoj) estas ofte studitaj per ilia kategorioj de moduloj. Modulo super ringo estas komuta grupo sur kiu la ringo agas kiel ringo de endomorfioj, treege simile al la manieroj kiel kampoj (integrecaj ringoj en kiuj ĉiu ne-nula ero estas inversigebla) agas sur vektoraj spacoj. Ekzemploj de ne-komutaj ringoj estas donitaj per ringoj de kvadrataj matricoj aŭ pli ĝenerale per ringoj de endomorfioj de komutaj grupoj aŭ moduloj, kaj per monoidaj ringoj.

Iuj utilaj teoremojRedakti

ĜeneraligojRedakti

Iun ajn ringon eblas konsideri antaŭadicia kategorio kun unusola objekto. Tial estas nature konsideri la antaŭadiciajn kategoriojn kiel ĝeneraligon de ringoj. Kaj efektive, multaj difinoj kaj teoremoj originale pruvitaj por ringoj povas esti tradukitaj por tiu pli ĝenerala kunteksto. Adiciaj funktoroj inter antaŭadiciaj kategorioj ĝeneraligas la koncepton de ringa homomorfio, kaj idealoj en adiciaj kategorioj povas esti difinitaj kiel klasoj de strukturkonservantaj transformoj fermitaj sub adicio kaj sub komponado kun ajnaj strukturkonservantaj transformoj.

Eksteraj ligilojRedakti