Ĉi tiu artikolo temas pri la Eŭlera beta-funkcio , konvencie skribata Β(x,y) . Ekzistas ankaŭ aliaj beta-funkcioj en matematiko kaj fiziko. La matematika beta-funkcio , alinome Eŭlera integralo de la unua specospeciala funkcio , kiun oni difinas por kompleksaj nombroj x kaj y kun pozitiva reela parto:
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}
kiam
Re
(
x
)
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0\,}
La beta-funkcion studis Leonhard Euler kaj Adrien-Marie Legendre , kaj la nomon al ĝi donis Jacques Binet . Ekzistas ankaŭ ĝeneraligo de la funkcio, t.n. nekompleta beta-funkcio kaj ties variaĵo reguligita nekompleta beta-funkcio .
:
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)\;}
:
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}
La funkcio povas esti prezentita ankaŭ per sekvaj formuloj
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
sin
2
x
−
1
θ
cos
2
y
−
1
θ
d
θ
,
R
e
(
x
)
>
0
,
R
e
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad {\mathrm {R} e}(x)>0,\ {\mathrm {R} e}(y)>0}
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
R
e
(
x
)
>
0
,
R
e
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\mathrm {R} e}(x)>0,\ {\mathrm {R} e}(y)>0}
B
(
x
,
y
)
=
1
y
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
y
)
n
+
1
n
!
(
x
+
n
)
k
a
j
(
x
)
n
=
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
…
(
x
−
n
+
1
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}}\quad \mathrm {kaj} \quad (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}
B
(
x
,
y
)
=
x
+
y
x
y
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
y
n
(
x
+
y
+
n
)
)
−
1
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}
∂
∂
x
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}
kie
ψ
(
x
)
{\displaystyle \ \psi (x)}
digamma-funkcio .
Oni povas aproksimi la beta-funkcion per la formulo de Stirling :
B
(
x
,
y
)
∼
2
π
x
x
−
1
2
y
y
−
1
2
(
x
+
y
)
x
+
y
−
1
2
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}
por grandaj: x kaj y .
Sed se x estas granda kaj y estas konstanta, tiam validas
B
(
x
,
y
)
∼
Γ
(
y
)
x
−
y
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}
La nekompleta beta-funkcio , estas ĝeneraligo de la beta-funkcio kaj difinita kiel
B
(
x
;
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}
Por x = 1, la nekompleta funkcio egalas al la kompleta funkcio.
Reguligita (senkompleta) beta-funkcio estas difinita kiel
I
x
(
a
,
b
)
=
B
(
x
;
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}
Integrante la formulon, oni ricevas por entjeraj a kaj b :
I
x
(
a
,
b
)
=
∑
j
=
a
a
+
b
−
1
(
a
+
b
−
1
)
!
j
!
(
a
+
b
−
1
−
j
)
!
x
j
(
1
−
x
)
a
+
b
−
1
−
j
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}
Pri la reguligita beta-funkcio validas
I
0
(
a
,
b
)
=
0
{\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}
I
1
(
a
,
b
)
=
1
{\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}
