Beta-funkcio

Matematikaj funkcioj
Argumentaro, Celaro, Bildaro, Malbildo
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco


Ĉi tiu artikolo temas pri la Eŭlera beta-funkcio, konvencie skribata Β(x,y). Ekzistas ankaŭ aliaj beta-funkcioj en matematiko kaj fiziko.

La matematika beta-funkcio, alinome Eŭlera integralo de la unua speco, estas speciala funkcio, kiun oni difinas por kompleksaj nombroj x kaj y kun pozitiva reela parto:


kiam


La beta-funkcion studis Leonhard Euler kaj Adrien-Marie Legendre, kaj la nomon al ĝi donis Jacques Binet. Ekzistas ankaŭ ĝeneraligo de la funkcio, t.n. nekompleta beta-funkcio kaj ties variaĵo reguligita nekompleta beta-funkcio.


Ecoj de la funkcioRedakti

  •  , t.e., la funkcio estas simetria.
  •  

La funkcio povas esti prezentita ankaŭ per sekvaj formuloj

 
 
 
 
 

DerivaĵoRedakti

 

kie   estas la digamma-funkcio.

AproksimaĵoRedakti

Oni povas aproksimi la beta-funkcion per la formulo de Stirling:

 

por grandaj: x kaj y.

Sed se x estas granda kaj y estas konstanta, tiam validas

 

Nekompleta beta-funkcioRedakti

La nekompleta beta-funkcio, estas ĝeneraligo de la beta-funkcio kaj difinita kiel

 

Por x = 1, la nekompleta funkcio egalas al la kompleta funkcio.

Reguligita (senkompleta) beta-funkcio estas difinita kiel


 

Integrante la formulon, oni ricevas por entjeraj a kaj b:

 

Pri la reguligita beta-funkcio validas