Transformo de Möbius

Matematikaj funkcioj
Argumentaro, Celaro, Bildaro, Malbildo
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco
Transformo de Möbius devus esti ne konfuzita kun la konverto de Möbius kaj la funkcio de Möbius.

En matematiko, Transformo de Möbius estas bijekcia konforma bildigo de la etenda kompleksa ebeno (kio estas la kompleksa ebeno pligrandigita per la punkto je malfinio):

La aro de ĉiuj transformoj de Möbius formas grupon sub komponaĵo nomita kiel la grupo de Möbius. Transformoj de Möbius estas nomataj ankaŭ kiel frakciaj linearaj transformoj.

Ĝenerala priskriboRedakti

La möbius-a grupo estas la aŭtomorfia grupo de la rimana sfero

 

Certaj subgrupoj de la möbius-a grupo formas aŭtomorfiajn grupojn de la aliaj simple-koneksaj rimanaj surfacoj (la kompleksa ebeno kaj la hiperbola ebeno). Kiel tia, möbius-aj transformoj ludas gravan rolon en la teorio de rimanaj surfacoj. La kovranta grupo de ĉiu rimana surfaco estas diskreta subgrupo de la möbius-a grupo (vidu grupon de Klein). möbius-aj transformoj estas ankaŭ proksime rilatanta al (izometrioj, izometrias) de hiperbolaj 3-duktoj.

Aparte grava subgrupo de la möbius-a grupo estas la modula grupo; ĝi estas centralo al la teorio de multaj fraktaloj, modulaj formoj, elipsaj kurboj.

DifinoRedakti

La ĝenerala formo de transformo de Möbius estas donita per

 

kie a, b, c, d estas kompleksaj nombroj tiuj ke ad_bc_ ≠ 0. Ĉi tiu difino povas esti etendita al la tuta Rimana sfero (la kompleksa ebeno plus la punkto je malfinio) kun du specialaj okazoj:

  • la punkto   estas mapita al  
  • la punkto   estas mapita al  

Oni povas havi Möbius-ajn transformojn por la reelaj nombroj kaj ankaŭ por la kompleksaj nombroj. En ambaŭ okazoj, oni bezonas pligrandigi la domajnon per punkto je malfinio.

La kondiĉo adbc ≠ 0 asekuras ke la transformo estas inversigebla). La inversa transformo estas donita per

 

kun la samaj specialaj okazoj.

Malfiniigantoj de la transformoRedakti

La punkto

 

estas la malfiniiganto de  ; ĉe tiu punkto, la valoroj de   estas mallime grandaj.

La inversa malfiniiganto

 

estas la punkto al kiu la punkto je malfinio estas bildigata. La punkto _midway_ inter la du (polusoj, polusas) estas ĉiam la sama kiel la punkto _midway_ inter la du fiksaj punktoj:

 

Ĉi tiuj kvar punktoj estas verticoj de paralelogramo kiu estas kelkfoje nomata la karakteriza paralelogramo de la transformo.

(Konverti, Konverto)   povas esti precizigita kun du fiksaj punktoj   kaj la poluso  .

 

Ĉi tiu permesas al ni derivi formulo por konvertiĝo inter   kaj   donita  :

 
 

Kiu reduktas lanugo al

 

La lasta esprimo koincidas kun unu de la (reciproke (reciproka, reciprokaĵo, inverso)) ajgeno (rilatoj, rilatas, kvocientoj, kvocientas)   de la matrico

 

(figuranta, prezentanta) la (konverti, konverto) (kompari la diskuto en la antaŭvenanta sekcio pri la karakteriza konstanto de transformo). Ĝia karakteriza polinomo estas egala al

 

kiu havas (radikoj, radikas)

 

Preciziganta transformo per tri punktojRedakti

Proksimumo per rekta manieroRedakti

Ĉiu aro de tri punktoj

 

unike difinas transformon  . Por kalkuli ĉi tiun eksteren, estas oportune utiligi transformon, tio estas per ebeno kun tri punktoj sur (0,0), (1, 0) kaj la punkto je malfinio.

 

Unu povas forigi la (infinitoj, infinitas, malfinioj, malfinias, nefinioj, nefinias) per multiplikante ekster per   kaj   kiel antaŭe (tononomis, notita).

 

La matrico   al mapo   sur   tiam iĝas

 

Vi povas multipliki ĉi tiu ekster, se vi bezono, sed se vi estas skribanta kodo tiam ĝi's pli simpla al uzi nedaŭra (variabloj, variablas) por la mezo (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas).

Eksplicita determinanta formuloRedakti

La problemo de konstruanta Transformo de Möbius   (mapanta, bildigo) triopo   al alia triopo   estas ekvivalento al trovanta la ekvacio de norma hiperbolo

 

en la (z,w)-ebeno (trairanta, pasanta) tra la punktoj  . Eksplicita ekvacio povas troviĝi per pritaksanta la determinanto

 

per Laplaca elvolvaĵo laŭ la unua (linio, vico). Ĉi tiuj rezultoj en la determinantaj formuloj

 
 
 
 

por la koeficientoj   de la (figuranta, prezentanta) matrico  . La konstruis matrico   havas determinanto egala al   kiu ne nuliĝi se la zmi _resp_. wmi estas duoplarĝa malsama tial la Transformo de Möbius estas bone-difinita.

Mallaŭdo: A simila determinanto (kun   (anstataŭigita, anstataŭigis) per  ) (plumboj, plumbas, kondukas) al la ekvacio de cirklo tra tri malsama (ne samrekta) punktoj en la ebeno.

Cetera maniero uzante kruci-rilatojn de kvar punktojRedakti

Ĉi tiu konstruado ekspluatas la fakton (menciitan en la unua sekcio), ke la kruci-rilato

 

estas invarianto sub Transformo de Möbius (mapanta, bildigo) kvaropo   al   tra  . Se   (mapoj, mapas) triopo   de duoplarĝa malsama zmi al alia triopo  , tiam la Transformo de Möbius   estas difinita per la ekvacio

 

aŭ skribita ekster en (betono, konkreta) (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas):

 

La lasta ekvacio povas esti konvertita enen

 

Solvanta ĉi tiu ekvacio por   unu ricevas la _sought_ transformo.

Rilato al la fiksa punkta normala formo

Alpreni (tiu, ke, kiu) la punktoj   estas la du (malsama) fiksaj punktoj de la Konverto de Möbius   kio estas  . Skribi  . La lasta ekvacio

 

tiam legas

 

En la antaŭa sekcio sur normala forma Konverto de Möbius kun du fiksaj punktoj   estita esprimita uzanta la karakteriza konstanto k de la (konverti, konverto) kiel

 

(Komparanta, Kontrastiganta) ambaŭ esprimoj unu derivas la egaleco

 

kie   estas malsama de la fiksaj punktoj   kaj   estas la bildo de z1 sub  . En aparta la kruci-rilato   ne dependi sur la elekto de la punkto z (malsama de la du fiksaj punktoj) kaj estas egala al la karakteriza konstanto.

Vidu ankaŭRedakti

ReferencojRedakti

  • (Celita je ne-matematikistoj, provizas bonegan montraĵon pri teorio kaj rezultoj, riĉe ilustrita per figuroj.)
  • (Vidi ĉapitrojn 3-5 de ĉi tiu klasika libro por bela enkonduko al la Rimana sfero, stereografia projekcio, kaj Möbius-transformoj.)
  • (Vidu ĉapitron 3 por bele ilustrita enkonduko al transformoj de Möbius inkludanta ilian klasifikon)
  • Vidi ĉapitron 2.
  • (Vidi Ĉapitron 2 por diversaj izomorfioj, kaj por la Lorenca grupo vidita kiel Galezagrupo.)
  • (Vidi ĉapitron 6 por la klasifiko, supren al konjugacio de la kruca algebro de la Lorenca grupo.)

Eksteraj ligilojRedakti