Grupa ago

homomorfio el iu grupo en simetrian grupon, t.e. en la grupon de dissurĵetoj sur iu aro

Ĉi tiu artikolo estas pri matematika koncepto. Pro la sociologia termino vidu artikolon grupa ago (sociologio).


En matematiko, simetria grupo priskribas ĉiujn simetriojn de objektoj. Ĉi tio estas formaligita per la nocio de grupa ago: ĉiu elemento de la grupo "agas" tiel, ke ĝi permutas laŭ "simetrio" elementojn de iu aro. En ĉi tia situacio, la grupo estas ankaŭ nomata permuta grupo (aparte se la aro estas finia aŭ ne estas vektora spaco) aŭ transforma grupo (aparte se la aro havas strukturon de vektora spaco kaj la elementoj de la grupo agas kiel ĝiaj linearaj transformoj). Permuta prezento de grupo G estas prezento de G kiel grupo de permutoj de iu aro (precipe, se la aro estas finia). Ĝi povas esti ekvivalente priskribita ankaŭ kiel grupa prezento de G per permutaj matricoj kaj estas kutime konsiderata en la finidimensia kazo - ĝi estas la sama kiel grupa ago de G sur ordita bazo de vektora spaco.

Difino redakti

Se   estas grupo kaj   estas aro, tiam grupa ago de   sur   estas duvalenta operacio   (kies apliko al   kaj   estas notacie  ), kiu kontentigas jenajn du aksiomojn:

  1.   por ĉiuj   kaj  
  2.   por ĉiu  , kie   estas la neŭtrala elemento de la grupo  .

El ĉi tiuj du aksiomoj sekvas, ke por ĉiu  , la funkcio, kiu surĵetas   al  , estas dissurĵeto de   al  . Tial oni povas alternative kaj ekvivalente difini grupan agon de   sur   kiel grupan homomorfion  , kie   estas simetria grupo sur  , t.e. la grupo de ĉiuj dissurĵetoj de   al  .

Pri grupa ago  , oni alivortume diras, ke G agas sur aro X.


Ekzemploj redakti


Ĝeneraligoj redakti

Oni povas difini, ke sur aro agas ne grupo, sed monoido (algebra strukturo pli ĝenerala ol grupo) aŭ (eĉ pli ĝenerale) duongrupo, postulante la samajn du aksiomojn kiel ĉi-supre por monoidoj kaj nur la unuan aksiomon por duongrupoj. Tamen monoida ago kaj duongrupa ago ne difinas dissurĵetojn kaj ekvivalentrilatojn.