Hiperbola geometrio

En matematiko, hiperbola geometrio (nomata ankaŭ geometrio de Lobaĉevskijgeometrio de Bolyai–Lobaĉevskij) estas ne-Eŭklida geometrio. La paralela postulato de Eŭklida geometrio estas anstataŭata jene:

Rektoj tra punkto P kaj asimptota al rekto R.
Por ĉiu havigita rekto R kaj punkto P ne sur R, en la ebeno enhavanta kaj la rekto R kaj la punkto P estas almenaŭ du diferencaj rektoj tra P kiuj ne intersekcias R.
(komparu tion kun la aksiomo de Playfair, nome moderna versio de la paralela postulato de Eŭklido)

Hiperbola geometrio de ebenoj, estas ankaŭ la geometrio de selaj kaj pseŭdosferaj surfacoj, nome surfacoj kun konstanta negativa Gauss-a kurbeco.

Moderna uzado de hiperbola geometrio estas en la teorio de speciala relativeco, partikulare de la Spaco de Minkowski kaj de girovektora spaco.

Kiam geometriistoj por la unua fojo konstatis, ke ili estas laboranta pri io disde la normiga Eŭklida geometrio, ili priskribis sian geometrion laŭ tre diferencaj nomoj; Felix Klein finfine havigis al la fako la nomon hiperbola geometrio por inkludi ĝin en la nune rare uzata sekvenco elipsa geometrio (sfera geometrio), parabola geometrio (Eŭklida geometrio), kaj hiperbola geometrio. En iama Sovetunio, ĝi estas ofte nomata geometrio de Lobaĉevskij, nome laŭ unu el ties malkovrintoj, nome la rusa geometro Nikolaj Ivanoviĉ Lobaĉevskij.

Hiperbola geometrio povas esti komprenita al 3-a kaj pliaj dimensioj; vidu koncepton hiperbola spaco por pli ol tri kaj pli altaj dimensiaj okazoj.

Nikolaj Ivanoviĉ LobaĉevskijRedakti

 
Imaga geometrio
verko publikigita en 1837

La 7-an de februaro 1826 Lobaĉevskij prezentis por publikigo en "Verkoj de la fizik-matematika fako" la verkon «Konciza prezento de elementoj de geometrio kun strikta pruvo de la teoremo pri paraleloj» (en la franca lingvo). Sed la eldonado ne okazis. Konserviĝis nek manuskripto nek recenzoj, sed la verko estis inkludita al lia verko «Pri la elementoj de geometrio» (18291830), eldonita en la gazeto «Kazanskij vestnik» (Kazana heroldo). Tiu verko estis la unua serioza publikigo pri la neeŭklida geometrio en la monda historio.

Lobaĉevskij opinias la kvinan postulaton de Eŭklido arbitra. Laŭ lia opinio tio estas tro strikta eco, limiganta la eblecojn de la teorio, priskribanta la ecojn de la spaco. Li proponas la alternativon al tiu postulato: "Sur la ebeno, la punkton, ne apartenantan al certa rekto, havas pli ol unu rekto, ne sekcanta tiun certan". La geometrio, prezentita de Lobaĉevskij ne estis eŭklida, sed la eŭklida geometrio povus rezulti el ĝi limese, kiam la kurbeco de la spaco strebas nulon. Sed en lia geometrio tiu kurbeco estas negativa.

Sed la sciencaj ideoj de Lobaĉevskij ne estis aprobitaj de liaj samtempuloj. Lia verko «Pri la elementoj de geometrio», prezentita en 1832 en la scienca akademio, ricevis tie negativan noton. Preskaŭ neniu el liaj kolegoj subtenis lin. Sed Lobaĉevskij ne kapitulaciis. En 18351838 li publikigis la artikolon pri «fantaziita geometrio» kaj poste li eldonis la plej plenan sian verkon «Novaj elementoj de geometrio kun la plena teorio pri paraleloj».

Ne trovinte subtenon en Rusio, li penis trovi samideanojn eksterlande. En 1840 li eldonis en la germana lingvo «Geometriajn esplorojn pri la teorio de paraleloj», kio enhavas klarajn prezentojn de liaj ĉefaj ideoj. Unu ekzempleron ricevis Gaŭso, la tiama «reĝo de matematikistoj». Multe pli poste evidentiĝis, ke Gaŭso mem sekrete inventis la neeŭklidan geometrion, sed ne decidiĝis publikigi ion pri tiu temo. Konatiĝinte kun la rezultoj de Lobaĉevskij, li rekomendis elekti je Lobaĉevskij eksterlanda membro de la gotingena reĝa societo. Tiu elekto okazis en 1842, sed ne firmigis la situacion de Lobaĉevskij en Rusio.

János BolyaiRedakti

 
János Bolyai.

Kaj la Eŭklida kaj la Bolyaia geometrio estas logikaj teorioj, tial nur la sperto povis decidi, ke en la realo kiu el ili estas pli laŭcela kaj pli adaptebla al la metodoj de la sciencaj esploroj por pli funde ekkoni la mondon nin ĉirkaŭantan. Dum en lia epoko oni ankoraŭ ne povis prijuĝi tion, en la moderna fiziko, surbaze de la ĝenerala relativeca teorio de Einstein, oni jam sukcesis demonstri, ke en la proksimeco de grandaj ĉielkorpoj — tiel ankaŭ proksime al la Suno — la lumradioj dekliniĝas, kies unu konsekvenco estas, ke en la proksimeco de tiel grandaj korpoj, vere, unu el la ne-Eŭklidaj geometrioj estas valida.

Kiel juna oficiro dum pluraj jaroj li laboris super sia epokfara malkovro, fiksis kaj sistemigis la tezojn de ambaŭ siaj teorioj, t. e. tiujn de la “hiperbola" kaj tiujn de la "absoluta geometrio". La verko post multaj malfacilaĵoj kaj malhelpoj fine aperis en 1831 kiel apendico almetita al la libro de lia patro.

La malkovrita nova teorio havas nekredeble grandan gravecon. Ĝi signifas, ke naskiĝis nova mondpercepto, ke oni devas imagi la mondon tute alimaniere. Ke estas eble, ke la fizika spaco estas tute alia, ol kiun la homaro dum jarmiloj ekkonis. Kvankam tio ŝajnis nekredeblaĵo por ĉiu, Bolyai sukcesis tamen pruvi tion, kaj estas lia la merito, ke la modernan geometrion, kunire kun la ceteraj sciencobranĉoj, povis elkreski plenvalora akcelanto de la progreso de la jarcentoj.

Neniom malgravigas lian meriton la fakto, ke preskaŭ samtempe kun li ankaŭ alia scienculo, la rusa Lobaĉevskij malkovris la saman teorion pri hiperbola geometrio, pro kio ofte oni mencias tiun: Bolyai-Lobaĉevskij geometrio.

La geniulo ne povis do ĝoji pri sia grandioza verko. Mem Gaŭss, la mondfama germana matematikisto, al kiu la patro — lia malnova amiko — sendis ekzempleron de la verko de sia filo, kaj kiu en sia respondletero plene agnoskis kaj alte taksis tiun, ne havis la kuraĝon prezenti la genian malkovron al la scienca mondo, ĉar timis ties antaŭjuĝon kaj malvasthorizontecon.

Vidu ankaŭRedakti

BibliografioRedakti

  • Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
  • Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co.
  • Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob (2003). Asmus L. Schmidt (ed.). Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co.
  • Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry, Eldono kaj traduko de Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk