Lineara kombinaĵo

En matematiko, lineara kombinaĵo estas koncepto centra en lineara algebro kaj rilatantaj kampoj de matematiko. La plejparto de ĉi tiu artikolo estas pri linearaj kombinaĵoj en la ĉirkaŭteksto de vektora spaco super kampo.

Difino

Estu K - kampo kaj V - vektora spaco super K. La eroj de V estu nomataj vektoroj, la eroj de K skalaroj. Se v₁,…,v_n estas vektoroj kaj a₁,…,a_n estas skalaroj, tiam la lineara kombinaĵo de ĉi tiuj vektoroj kun ĉi tiuj skalaroj kiel koeficientoj estas

$a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}\,$

En donita situacio, K kaj V povas esti precizigitaj aparte aŭ esti evidentaj de la ĉirkaŭteksto.

Notu ke laŭ la difino, lineara kombinaĵo enhavas nur finie multajn vektorojn (escepte kiel priskribite en ĝeneraligoj pli sube). Tamen, la aro V, el kiu la vektoroj estas prenitaj, povas esti nefinia; tamen ĉiu aparta lineara kombinaĵo nur enhavas finie multajn vektorojn. Ankaŭ, n povas esti nulo; en ĉi tiu okazo oni deklaras ke la rezulto de la lineara kombinaĵo estas la nula vektoro en V.

Ekzemploj

Analitika geometrio

Estu kampo K - la aro R de reelaj nombroj, kaj estu la vektora spaco V - la eŭklida spaco R³. Konsideru la vektorojn e₁ := (1,0,0), e₂ = (0,1,0) kaj e₃ = (0,0,1). Tiam ĉiu vektoro en R³ estas lineara kombinaĵo de e₁, e₂ kaj e₃.

Por vidi ĉi tion oni, prenu iun ajn vektoron(a₁,a₂,a₃) en R³, do:

$(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})\,$

$=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)\,$

$=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}\,$

Ĝeneraligoj

Se V estas topologia vektora spaco, tiam eblas difini sencohavan nocion de nefinia lineara kombinaĵo, uzante la topologion de V. Ekzemple, oni povas paroli pri a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ + …, senfine. Ĉi tiaj nefiniaj linearaj kombinaĵoj ne ĉiam havas sencon; oni nomas ilin konverĝajn se la senco estas.