Teoremo de Rolle
En analitiko la teoremo de Rolle asertas, ke se funkcio estas kontinua en kompakta Intervalo , tio estas malfermita kaj limigita, derivebla en ĉiu punkto en la fermita intervalo kaj , tiam ekzistas almenaŭ interna punkto en kies derivaĵo nuliĝas, tio estas (krita punkto).
Formale: Estu Se estas kontinua en , derivebla en kaj tiam
Demonstro redakti
Per teoremoj de Weierstrass kaj Fermat redakti
Danke al teoremo de Weierstrass la funkcio en la intervalo garantias la ekziston de absolutaj maksimumo kaj minimumo (kiuj estos kaj ). Estas du kazoj:
- Maksimumo kaj minimumo estas ambaŭ en ekstremoj. Do, ĉar , . Tio implikas, ke la funkcio estas konstanta en la intervalo kaj la derivaĵo estas nula en ĉiuj punktoj de la intervalo .
- Maksimumo kaj minimumo ne estas en ekstremoj sed ene de la intervalo. Ni supozu, ke la punkto en la malfermita intervalo estas maksimumo, tio estas . Laŭ la teoremo de Fermat pri kritaj punktoj la derivaĵo estas nula en la punkto .
Per teoremo de Lagrange redakti
Ĉi tiu teoremo estus aparta kazo de la teoremo de Lagrange, kiu asertas, ke, sen la hipotezo , . Se , la numeratoro estas nula, do la teoremo de Rolle estas verigita.
Kontraŭekzemploj redakti
La teoremo ne validas se ne estas nur unu el la tri hipotezoj:
- ne estas kontinua en .
- ne estasderivebla en .
- .
Ĝeneraligoj redakti
Ebla ĝeneraligo de la teoremo de Rolle garantias la ekziston de ne-deriveblaj punktoj, de fleksoj kun vertikala tanĝanto, tio estas punktoj kie la limeso de la pliiga raporto estas infinito.