Malfermi la ĉefan menuon
Bildo pri la teoremo de Rolle: y=f(x) estas kontinua en [a,b], derivebla en (a,b) kaj f(a) = f(b). Tiam, ekzistas c, kies derivaĵo nuliĝas.

En analitiko la teoremo de Rolle asertas, ke se funkcio estas kontinua en kompakta Intervalo , tio estas malfermita kaj limigita, derivebla en ĉiu punkto en la fermita intervalo kaj , tiam ekzistas almenaŭ interna punkto en kies derivaĵo nuliĝas, tio estas (krita punkto).

Formale: Estu Se estas kontinua en , derivebla en kaj tiam

DemonstroRedakti

Per teoremoj de Weierstrass kaj FermatRedakti

Danke al teoremo de Weierstrass la funkcio en la intervalo   garantias la ekziston de absolutaj maksimumo kaj minimumo (kiuj estos   kaj  ). Estas du kazoj:

  1. Maksimumo kaj minimumo estas ambaŭ en ekstremoj. Do, ĉar  ,  . Tio implikas, ke la funkcio estas konstanta en la intervalo   kaj la derivaĵo estas nula en ĉiuj punktoj   de la intervalo  .
  2. Maksimumo kaj minimumo ne estas en ekstremoj sed ene de la intervalo. Ni supozu, ke la punkto   en la malfermita intervalo   estas maksimumo, tio estas  . Laŭ la teoremo de Fermat pri kritaj punktoj la derivaĵo estas nula en la punkto  .

Per teoremo de LagrangeRedakti

Ĉi tiu teoremo estus aparta kazo de la teoremo de Lagrange, kiu asertas, ke, sen la hipotezo  ,  . Se  , la numeratoro estas nula, do la teoremo de Rolle estas verigita.

KontraŭekzemplojRedakti

 
Dua kontraŭekzemplo. La funkcio   en la intervalo   ne deriveblas en x = 0. La teoremo de Rolle ne estas valida.

La teoremo ne validas se ne estas nur unu el la tri hipotezoj:

  1.   ne estas kontinua en  .
  2.   ne estasderivebla en  .
  3.  .


ĜeneraligojRedakti

Ebla ĝeneraligo de la teoremo de Rolle garantias la ekziston de ne-deriveblaj punktoj, de fleksoj kun vertikala tanĝanto, tio estas punktoj kie la limeso de la pliiga raporto estas infinito.

Vidu ankaŭRedakti