Integralo de Euler aŭ Eŭlera integralo estas kolekto da integraloj kun parametro . Integralo de unua speco estas funkcio β kaj de dua speco estas funkcio Γ .
Funkcio β :
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
,
k
i
e
ℜ
(
x
)
,
ℜ
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad \mathrm {kie} \quad \Re (x),\Re (y)>0}
Funkcio Γ :
Γ
(
z
)
=
∫
0
+
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}
Por pozitiva entjeroj m kaj n
B
(
n
,
m
)
=
(
n
−
1
)
!
(
m
−
1
)
!
(
n
+
m
−
1
)
!
=
n
+
m
n
m
(
n
+
m
n
)
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (n,m)={(n-1)!(m-1)! \over (n+m-1)!}={n+m \over nm{n+m \choose n}}}
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}
∫
0
π
/
2
s
i
n
2
a
+
1
x
c
o
s
2
b
+
1
x
d
x
=
Γ
(
a
+
1
)
Γ
(
b
+
1
)
2
Γ
(
a
+
b
+
2
)
=
1
2
B
(
a
+
1
,
b
+
1
)
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi /2}sin^{2a+1}xcos^{2b+1}x\,dx={\frac {\Gamma (a+1)\Gamma (b+1)}{2\Gamma (a+b+2)}}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} (a+1,b+1)}
