Modula aritmetiko
Modula aritmetiko estas sistemo de aritmetiko por entjeroj, kie nombroj "turniĝas reen", al nulo, post kiam ili atingas certan valoron — la modulon. Modulan aritmetikon prezentis Carl Friedrich Gauss en sia libro Disquisitiones Arithmeticae (publikigita en 1801).
Ekzemplo de modula aritmetiko estas kutima horloĝo: la aritmetiko de horoj sur la horloĝo. Se la tempo estas 7 horoj, tiam post 8 horoj estos 15 horoj (t.e. validas kutima adicio). Se la tempo estas 7 horoj, tiam post 19 horoj esto vi ź TTTs (7+19)=26 horoj (laŭ en kutima aldono), sed horloĝo uzas modulon 24, do estas 26 mod 24=2 horoj (de la sekva diurno).
La rilato redakti
Du entjeroj a kaj b estas kongruaj module (aŭ modulite) je n, se a kaj b havas la saman reston kiam estas dividitaj per n (por pozitivaj entjeroj), aŭ ekvivalente, ke ilia diferenco (a−b) estas produto de n kaj entjero (por ĉiaj entjeroj). En ĉi tiu okazo, la afero estas esprimita kiel
- a ≡ b (mod n).
Ekzemple,
- 38 ≡ 14 (mod 12)
ĉar 38 − 14 = 24 kiu estas entjera obligo de 12.
Kongrueco estas ekvivalentrilato. Ekvivalentklaso de la entjero a estas signifita per [a]n = { ..., a − 2n, a − n, a, a + n, a + 2n, a + 3n, ...}. Ĉi tiu aro de ĉiuj entjeroj kongruaj al a module je n estas nomita kiel la kongrueca klaso aŭ n-modula restoklaso de a module je n, kaj estas ankaŭ signifis per .
Se
- a1 ≡ b1 (mod n)
kaj
- a2 ≡ b2 (mod n)
tiam
- a1 + a2 ≡ (b1 + b2) (mod n)
kaj
- a1a2 ≡ b1b2 (mod n).