Simetria dulineara formo

En matematiko, simetria dulineara formo sur vektora spaco estas dualineara bildigo de du kopioj de la vektora spaco al la kampo de skalaroj tia ke la ordo de la du vektoroj ne influas la valoron de la bildigo.

Alivorte, ĝi estas dualineara funkcio $B$ kiu mapas ĉiun paron $(u,v)$ da elementoj de la vektora spaco $V$ al la suba kampo tia ke $B(u,v)=B(v,u)$ por ĉiuj $u$ kaj $v$ en $V$. Ili ankaŭ estas nomataj pli koncize kiel nur simetriaj formoj kiam "dulineara" estas komprenita.

Formala difino

Estu V n-dimensia vektora spaco super kampo K. Bildigo $B:V\times V\rightarrow K$ estas simetria dulineara formo sur la spaco se:

• $B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V$
• $B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V$
• $B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V$

La lastaj du aksiomoj establas linearecon nur en la unua argumento, sed la unua aksiomo (simetrio) tiam tuj implicas linearecon ankaŭ en la dua argumento.

Ekzemplo

Estu V = Rⁿ, la n-dimensia reela vektora spaco. Tiam la norma punkta produto estas simetria dulineara formo, B(x, y) = x ⋅ y . La matrico responda al ĉi tiu dulineara formo sur norma bazo estas la identa matrico.