Hiperreela nombro: Malsamoj inter versioj

40 bitokojn forigis ,  antaŭ 12 jaroj
[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
Tie ĉi sekvas intuicia maniero kompreni la koncepton de hiperreela nombro. La alveno tie ĉi estas proksima al tiu en la libro far Robert Goldblatt.<ref>{{Citation | last1=Goldblatt | first1=Robert | title=Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-98464-3 | year=1998}}</ref> Rememoru, ke la vicoj, kiuj konverĝas al nulo, estas iam nomataj nefinie malgrandaj. Tiuj ĉi estas preskaŭ rekte laŭdifine infinitezimoj - veraj infinitezimoj estas klasoj de vicoj, kiuj enhavas vicojn, konverĝantaj al nulo. Vidu ni, de kie venas tiuj klasoj. Unue ni konsideru vicojn de reeloj. Ili formas [[ringo (matematiko)|ringon]], t.e. oni povas adicii kaj multipliki ilin, kvankam ili ne estas ĉiam divideblaj je ne-nulo. La reeloj estas konstantaj vicoj, en kiuj ĉiuj elementoj egalas. La vico estas nula nur se ĝi estas idente nula, t.e. ''a''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;0 por ĉiuj ''n''.
 
En ni ringo, oni ne povas atingi na ''ab''&nbsp;=&nbsp;0 en kiu nek ''a''&nbsp;=&nbsp;0 nek ''b''&nbsp;=&nbsp;0. Do, se por du vicoj <math>a, b\quad</math> oni havas ''ab''&nbsp;=&nbsp;0, almenaŭ unu el ili estu proklamita nula. Mirinde, ekzistas konsista maniero fari tion. Rezulte, la vicoj kiuj malsamas je vico deklarita nula formas hiperreelan [[korpo (matematiko)|korpon]]. Ĝi enhavos infinetizimojn aldone al normaj reeloj, kaj samkiel la infinite grandajn nombrojn, kiuj estas multiplikaj [[inverso]]j de infinetizimoj (ilin reprezentas vicoj, kiuj konverĝas al senfineco). Ĉiu hiperreelo, kiu ne estas nefinie granda, estos nefinie proksima al iu reelo, t.e. estos reelo + infinitezimo.
 
Tiu ĉi konstruo estas paralela al konstruo de rrelojreeloj el [[racionalo]]j far [[Georg Cantor]]. Li komencis kun ringo de [[fundamenta vico|fundamentaj vicoj]] de racionaloj kaj deklaris ĉiujn vicojn, konverĝantajn al nulo, nulo. La rezulta aro estas aro de reeloj. Por daŭrigi la konstruon al hiperreeloj, ni kosideru la nulajn arojn de tiaj vicoj, t.e. <math>z(a)=\{i: a_i=0\}\quad</math>, kie <math>z(a)\quad</math> estas aro de indicoj <math>i\quad</math> por kiuj <math>a_i=0\quad</math>. Evidente, se <math>ab=0\quad</math>, do la kunigo de <math>z(a)\quad</math> kaj <math>z(b)\quad</math> estas ''N'' (aro de [[naturalo]]j). Do:
#Unu el la vicoj, kiuj malaperas en 2 aroj de la kunigo, estu proklamita nulo
#Se <math>a\quad</math> estas proklamita nulo, <math>ab\quad</math> ankaŭ estas nulo, sendepende de kio ajn estas <math>b\quad</math>.
#La [[malplena aro]] ne apartenu al ''U'', ĉar se ĝi apartenus, iu ajn aro ankaŭ apartenus, ĉar ĉiu aro enhavas malplenan aron, kaj do ĉio iĝus nulo.
 
Ĉiu familio de aroj, kiuj akordas kun kondiĉoj (2)-(4), nomiĝas [[filtro (matematiko)|filtro]]. Ekzemple, aro de vastigaĵoj de finiaj aroj nomiĝas [[filtro de Fréchet]] (ĝi uziĝas en teorio de [[limeso]]j.). Se (1) estas ankaŭ vera, la filtro nomiĝas [[ultrafiltro]] (ĉar oni ne povas aldoni pliajn arojn al ĝi sen rompi ĝian "filtrecon"). Oni nur povas eksplike diri pli konata ultrafiltro kiel pri ultrafiltro, kiu enhavas iun antaŭdifinitan elementon (ekzemple, nombron 10). Tiaj ultrafiltroj nomiĝas triviaj. Oni asertas, ke iu ajn filtro povas esti vastigata ĝis ultrafiltro, sed la pruvo vezonasbezonas [[aksiomo de elekto|aksiomon de elekto]]. Ekzisto de ne-triviaj ultrafiltroj ([[ultrafiltra lemo]]) estas pli "malforta" ol aksiomo de elekto, kaj do estas pli oportune enkonduki ĝin kiel apartan aksiomon.
 
Se ni uzos ne-trivian ultrafiltron (kiu estas vastigaĵo de la Fréchet-filtro) en nia konstruo, rezulto estas aro de hiperreeloj. La infinetizimoj povas esti reprezentitaj per ne-malaperantaj vicoj, kiuj konverĝas al nulo relative al Fréchet-filtro.
kie <math>\{ \dots\}</math> signifas "klaso de elvivalenteco de <math>\dots</math> rilate al nia ultrafiltro", kie du vicoj estas en la sama klaso se kaj nur se la nula aro de ilia diferenco apartenas al nia ultrafiltro.
 
<!--AllĈiuj thearitmetikaj arithmeticalesprimoj expressionskaj andfurmuloj formulashavas makesencon sensepor forhiperreeloj hyperrealskaj andveras holdse trueili ifestas theyveraj arepor truela for the ordinary realsreeloj. OneOni canpovas provepruvi thatke anyĉiu finiteajn finia (thatt.e. istia, such thatke <math>|x| < a\quad</math> forpor someiu ordinary realreela <math>a\quad</math>) hyperrealhiperreelo <math>x\quad</math> willhavos be of the formformon <math>y+d\quad</math> wherekie <math>y\quad</math> isestas an ordinarynorma (callediam standardnomata "standarda") realreelo andkaj <math>d\quad</math> is anestas infinitesimalinfinetezimo.
 
ItTio isĉi parallelestas toparalela theal proofpruvo of thede [[Bolzano–Weierstrassteoremo theorem|Bolzano-Weierstrassde lemmaBolzano–Weierstrass]], thatkiu saysasertas, thatke oneoni canpovas pickelekti akonverĝan convergentsubvicon subsequenceel fromĉiu anylimigita boundedvico sequence,per [dusekcio<ref>http://www.gap-system.org/~john/analysis/Lectures/L9.html</ref>. done by bisection], theLa propertyeco (1) ofde thela ultrafiltershiperreeloj isestas againree crucialnepra.
 
NowNun oneoni canpovas seevidi, ke thatse <math>f\quad</math> isestas continuouskontinua, meanstio thatsignifas ke <math>f(a)-f(x)\quad</math> isestas infinitelynefinia smallmalgranda wheneverkiam tia estas <math>x-a\quad</math>, kaj is, andse <math>f\quad</math> isestas diferencialebla, differentiabletio meanssignifas thatke
:<math>(f(x)-f(a))/(x-a)-f'(a)\quad</math>
isestas infinitelynefinie smallmalgranda wheneverkiam tia estas <math>x-a\quad</math> is. RemarkablyNotinde, if one allowsse <math>a\quad</math> toestas be hyperrealhiperreela, thela derivativederivaĵo willestas beaŭtomate automaticallykontinua, continuousĉar (because,por ke <math>f\quad</math> estu being differentiablediferencialebla atĉe <math>x\quad</math>,
:<math>f'(x)-(f(x)-f(a))/(x-a)=f'(x)-(f(a)-f(x))/(a-x)\quad</math>
isdevas esti infinetezima infinitelykiam smalltia whenestas <math>x-a\quad</math>. isDo, therefore <math>f'(x)-f'(a)\quad</math> isankaŭ estu alsoinfinetizima infinitelykiam smalltia whenestas <math>x-a\quad</math> is).-->
 
==Referencoj==
3 935

redaktoj