Ordonombro: Malsamoj inter versioj

180 bitokojn forigis ,  antaŭ 11 jaroj
Ĉiu ordinalo difineblas per aro de antaŭaj ordinaloj. Fakte, plimulto de nune uzataj difinoj difinas ordinalon ''kiel'' aron de antaŭaj ordinaloj. Ekzemple, ordinala nombro 42 estas difinebla kiel aro de antaŭaj ordinaloj {0,1,2,…,41}. Pli ĝenerale, iu aro (''S'') de ordinaloj kiu estas masupren-limigita (t.e. por ĉiu ordinalo α el S kaj ĉiu ordinalo β < α, β estas ankaŭ el ''S'' kaj estas (aŭ estas identa kun) ordinalo.
 
Ĝis nun ni nure menciis finiajn ordinalojn, t.e, naturalojn. Sed samkiel transfiniaj kardinaloj, ekzistas transfiniaj ordinaloj. La unua nefinia ordinalo estas '''ω''', kiu estas tipo de ordo de aro de ĉiuj naturaloj (finiaj ordinaloj) kaj identeblas kun la aro.
<!--So far we have mentioned only finite ordinals, which are the natural numbers. But there are infinite ones as well: the smallest infinite ordinal is '''ω''', which is the order type of the natural numbers (finite ordinals) and which can even be identified with the ''set'' of natural numbers (indeed, the set of natural numbers is well-ordered—as is any set of ordinals—and since it is downward closed it can be identified with the ordinal associated with it, which is exactly how we define ω).
 
[[Image:Omega squared.png|thumb|right|256px|AGrafika graphicalreprezentaĵo “matchstick”de representationla of the ordinalordinalo ω². EachĈiu sticklinieto correspondsrespondas toal anordinalo ordinalde of the formformo ω·''m''+''n'' wherekie ''m'' andkaj ''n'' are naturalestas numbersnaturaloj.]]
Eble oni povas ekhavi plian intuician komprenon de ordinaloj post pripenso de kelkaj unuaj el ili. Kiel supre-menciite, la aro komencas je naturaloj (inkluzive nulon): 0, 1, 2, 3, … Post ''ĉiuj'' naturaloj sekvas la unua transfinia ordinalo ω, kiun sekvas ω+1, ω+2, ω+3, ktp. (Poste ni difinos pli precize kion signifas la adicio kuntekste de ordinaloj; nun kosideru tion simple kiel nomojn). Post ĉiuj tiuj sekvas ω·2 (aŭ ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, ktp, poste, sammaniere, ω·3, ω·4, … Nun konsideru ni la aron de ordinaloj, kiuj formiĝas ĉi-maniere - kiel ω·''m''+''n'', kie ''m'' kaj ''n'' estas naturaloj. Estiel aro, ĝi devas mem enhavi asociitan ordinalon, kaj tiu markiĝas kiel ω<sup>2</sup>. Plue sammaniere ni difinos na ω<sup>3</sup>, poste na ω<sup>4</sup>, ktp, ĝis ω<sup>ω</sup>, poste, post sekva iteracio, na ω<sup>ω²</sup>, ktp ĝis ε<sub>0</sub> (''[[epsilono nula]]'') Tiuj ĉiuj ankoraŭ estas relative malgrandaj (nombreblaj) ordinaloj. Tiel ni povas daŭrigi nefinie. Ordinaloj estas aparte taŭgaj por nefinie grandaj numeradoj: preskaŭ ĉiam, kiam oni diras "kaj tiel plu" numerante ordinalojn, oni per tio jam difinas pli grandan ordinalon. La plej malgranda nenombrebla ordinalo estas aro de ĉiuj nombreblaj ordinaloj, markita per ω<sub>1</sub>.
 
==Difinoj==
Perhaps a clearer intuition of ordinals can be formed by examining a first few of them: as mentioned above, they start with the natural numbers, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … After ''all'' natural numbers comes the first infinite ordinal, ω, and after that come ω+1, ω+2, ω+3, and so on. (Exactly what addition means will be defined later on: just consider them as names.) After all of these come ω·2 (which is ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, and so on, then ω·3, and then later on ω·4. Now the set of ordinals which we form in this way (the ω·''m''+''n'', where ''m'' and ''n'' are natural numbers) must itself have an ordinal associated with it: and that is ω<sup>2</sup>. Further on, there will be ω<sup>3</sup>, then ω<sup>4</sup>, and so on, and ω<sup>ω</sup>, then ω<sup>ω²</sup>, and much later on ε<sub>0</sub> ([[epsilon nought]]) (to give a few examples of relatively small—countable—ordinals). We can go on in this way indefinitely far ("indefinitely far" is exactly what ordinals are good at: basically every time one says "and so on" when enumerating ordinals, it defines a larger ordinal). The smallest uncountable ordinal is the set of all countable ordinals, expressed as ω<sub>1</sub>.
-->
 
==Referencoj==
3 805

redaktoj