Rimana ζ funkcio: Malsamoj inter versioj

[[Leonhard Euler|Ojler]] montris ke

<math>\zeta(z)=\prod_{\text{prima } p}(1-\frac{1}{p^z})^{-1}=(1-\frac{1}{p2^z})^{-1}(1-\frac{1}{3^z})^{-1}(1-\frac{1}{5^z})^{-1}\ldots(</math>.

Ĉi tiu formulo veras por ĉiu <math>z</math> kies reela parto estas pli ol <math>1</math>.

<math>\zeta(z)(1-\fracfrac1 {2^z})=1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{5^z}\ldots</math>

<math>\zeta(z)(1-\fracfrac1 {2^z})\frac{1}{3^z}=\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{15^z}+\ldots</math>

<math>\zeta(z)(1-\frac 1 {2^z})(1-\frac{1}{3^z})=1+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\ldots</math>

Ĉiu nombro dividebla per <math>3</math> estante subtrahita, ensupre la supra esprimo estasrestas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per <math>3</math>. Simile,

<math>\zeta(z)(1-\fracfrac1 {2^z})(1-\frac{1}{3^z})(1-\frac{1}{5^z})=1+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{11^z}+\ldots</math>

Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto <math>\zeta(z)\prod_{\text{prima }p} (1-\frac{1}{p^z})</math>, kaj la dekstra nombra konverĝas al <math>1</math>. Oni tuj atingas la proponataproponatan egalecoegalecon.

''Rimarko:'' la serio kiu definas <math>\zeta</math> konverĝas absolute se la reela parto de <math>z</math> estas pli ol <math>1</math>. Tio permesas monstrimontri que la dekstra limito estas <math>1</math>.