Harmona serio: Malsamoj inter versioj

:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots</math>

Nomo devenas de sekvaj duontonoj de oscilanta kordo, kiuj estas proporcia al 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Ĉiuj elemento de serio estas [[harmona meznombro]] de du antaŭaj nombroj.

 

Harmona serio estas [[limeso|malkonverĝa]] - suba pruvo de tiu fakto devenas de [[Nikolao de Oresme]] kaj estas unu el gravaj sukcesoj de mezepoka matematiko.

:<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots=

Ĉar sumo de nombroj en ĉiu krampo estas 1/2, vico de partaj sumoj de serio ne havas limeson.

 

Tiel nomata '''ĝenerala harmona serio'''

:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b} </math>

 

Oni povas pruvi<ref>pruvis [[Leonhard Euler|Euler]]</ref>, ke makkonverĝa estas ankaŭ serio de inversoj de [[primo]]j.

Sekvaj partaj sumoj de harmona serio

:<math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},</math>

kaj γ estas tiel nomata. [[konstanto de Euler]]. Tiu signifas, ke harmona serio kreskas same rapide kiel [[natura logaritmo]].

 

'''Harmona serio kun grado α''' havas aspekton:

:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\frac{1}{4^{\alpha}}+\dots</math>

<references/>

== Vidu ankaŭ ==

*

*