Ebeno (matematiko): Malsamoj inter versioj

Estu <math>\boldmathbf p</math> la punkto, kie ni volas loki nian ebenon, kaj estu <math>\vec n</math> nenula normala vektoro al tiu ebeno. La dezirata ebeno estas aro de ĉiuj punktoj <math>\boldmathbf r</math> tiel, ke validas <math>\vec n\cdot (r-p)=0.</math>

Se ni skribas <math>\vec n = \begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix} </math>, <math>\boldmathbf r = (x, y, z) </math> kaj d estas [[punkta produto]] <math>\vec n\cdot \boldmathbf p=-d</math>,

* Ebeno, kiu trairas tra tri punktojn <math>\boldmathbf p_1 = (x_1,y_1,z_1) </math>, <math>\boldmathbf p_2 = (x_2,y_2,z_2) </math> kaj <math>\boldmathbf p_3 = (x_3,y_3,z_3) </math>, povas esti difinita kiel aro de ĉiuj punktoj (x,y,z), kiuj koheras al jena [[determinanto|determinanta]] ekvacio:

<math>\vec n = ( \boldmathbf p_2 - \boldmathbf p_1 ) \times ( \boldmathbf p_3 - \boldmathbf p_1 ), </math>

kaj kiel la punkto <math>\boldmathbf p</math> povas esti prenita ajna de la punktoj <math>\boldmathbf p_1, \boldmathbf p_2</math> aŭ <math>\boldmathbf p_3</math>.

Inter la ebeno <math>\Pi : ax + by + cz + d = 0\,</math> kaj la punkto <math>\boldmathbf p_1 = (x_1,y_1,z_1) </math>, kiu ne nepre kuŝas sur la ebeno, la plej mallonga distanco inter <math>\boldmathbf p_1</math> ĝis la ebeno estas

El tiu sekvas, ke <math>\boldmathbf p_1</math> kuŝas sur la ebeno tiam kaj nur tiam, se ''D=0''.

Oni konsideru la kruciĝantajn ebenojn, priskribitajn kiel <math>\Pi_1 : \vec n_1\cdot \boldmathbf r = h_1</math> kaj <math>\Pi_2 : \vec n_2\cdot \boldmathbf r = h_2</math>, tiam la linio de interkruciĝo estas perpendikulara al ambaŭ <math>\vec n_1</math> kaj <math>\vec n_2</math> kaj do paralela al <math>\vec n_1 \times \vec n_2</math> .

Se ni krome supozos, ke <math>\vec n_1</math> kaj <math>\vec n_2</math> estas [[ortonormalo|ortonormalaj]], tiam la plej proksima al la origino punkto sur la linio de interkruciĝo estas <math>\boldmathbf r_0 = h_1\vec n_1 + h_2\vec n_2</math> .