Vikipedio

Totala ordo: Malsamoj inter versioj

Browse history interactively
[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
← Iru al antaŭa ŝanĝoIru al sekvanta ŝanĝo →
Enhavo forigita Enhavo aldonita
VidaVikiteksto
e Osteologia movis paĝon Tuteca ordo al Totala ordo: Laŭ NPIV kaj Matematika Vortaro de Jan Werner; vd Diskuto:Tuteca ordo
e Tuteca → totala, laŭ NPIV kaj la Matematika Vortaro de Jan Werner; vd Diskuto:Totala ordo
Linio 1:
En [[matematiko]], '''tuteca ordo''', '''totala ordo'''<ref>[[Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto]]: [http://vortaro.net/#ordo ord/o Ⅰ.5] “ordo estas totala, se por ajnaj elementoj ''a'' kaj ''b'' validas ''a'' ≤ ''b'' aŭ ''b'' ≤ ''a''.”</ref>, '''linearatuteca ordo''', '''linia ordo''' aŭ '''simpla ordo''' sur [[Aro (matematiko)|aro]] ''X'' estas ĉiuordorilato, kiu kapablas ordigi ajnan paron da elementoj, tiel ke inter ajna du elementoj, unu estas pli granda ol la alia.

== Difino ==
Sur aro <math>X</math>, '''totala ordo''' <math>\le</math> estas [[parta ordo]] kiu estas totala. Alivorte, ĝi estas [[duargumenta rilato]] sur ''X'', kiu estas [[Malsimetria rilato|malsimetria]], [[Transitiva rilato|transitiva]], kaj [[Tuteca rilato|tuteca]]. Tio signifas ke se ni nomos iun tian rilaton per ≤ , tiam jenaj propozicioj veros por ĉiuj ''a'', ''b'' kaj ''c'' en ''X'':
 
: se ''a'' ≤ ''b'' kaj ''b'' ≤ ''a'' tiam ''a'' = ''b'' ([[Malsimetria rilato|malsimetrio]])
Linio 5 ⟶ 8:
: ''a'' ≤ ''b'' aŭ ''b'' ≤ ''a'' ([[Tuteca rilato|tuteco]])
 
Aro parigita kun asociita tutecatotala ordo sur ĝi nomiĝas '''tutecetotale orda aro''', '''linearelinie orda aro''', '''simple orda aro''', aŭ '''ĉeno'''.
 
Rilata propraĵo de [[Tutecatuteca rilato|tuteco]] povas esti priskribita tiamaniere: ke ĉiu paro de eroj en la aro estas '''reciproke komparebla''' sub la rilato.
 
Rimarku ke la kondiĉo de ''tutecototaleco'' implicas [[Refleksiva rilato|refleksiveco]]n, tio estas ''a'' ≤ ''a''. Tial tutecatotala ordo estas ankaŭ [[parta ordo]], tio estas, duargumenta rilato kiu estas refleksiva, malsimetria kaj transitiva. TutecaTotala ordo povas ankaŭ esti difinita kiel parta ordo kiu estas tutecatotala.
 
Alternative, oni povas difini tutecetotale ordaordan aroaron kiel aparta speco de [[Latiso (matematiko)|latiso]], nome unu en kiu ni havas
 
: { ''a'' ∨ ''b'', ''a'' ∧ ''b'' } = { ''a'', ''b'' } por ĉiuj ''a'', ''b''.
 
Ni tiam skribas ''a'' ≤ ''b'' se kaj nur se ''a = a ∧ b''. Sekvas, ke tutecetotale orda aro estas [[distribueca latiso]].
 
Se ''a'' kaj ''b'' estas membroj de aro kiu estas tutecetotale orditaordigita per ≤, tiam ni povas difini duargumentan rilaton ''a'' < ''b'' kiel: ''a'' ≤ ''b'' kaj ''a'' ≠ ''b''. Ĉi tiu rilato estas transitiva (''a'' < ''b'' kaj ''b'' < ''c'' implicas ke ''a'' < ''c'') kaj, malkiel ≤, [[triĥotomo|triĥotoma]] <!--nePIVa vorto analoga al PIVa diĥotoma/dikotoma--> (t.e., ekzakte unu de ''a'' < ''b'', ''b'' < ''a'' kaj ''a'' = ''b'' veras). Ni povas procedi laŭ la alia vojo kaj starti per ekelekti < kiel transitivan triĥotoman duargumentan rilaton; tiam se ni difinas ''a'' ≤ ''b'' signifi ''a'' < ''b'' aŭ ''a'' = ''b'' , tiam ≤ povas esti montrita esti tutecatotala ordo.
 
TuteceTotale ordaj aroj formas [[Subkategorio|plena subkategorio]] de la [[Kategorio (matematiko)|kategorio]] de [[Parta ordo|parte ordaj]] aroj, kun la strukturkonservantaj transformoj estante mapoj kiuj respektas la ordojn, t.e. mapojn ''f'' tiaj ke se ''a'' ≤ ''b'' tiam ''f''(''a'') ≤ ''f''(''b'').
 
[[Reciproke unuvalora surĵeto]] inter du tutecetotale ordaj aroj kiu respektas la du ordojn estas [[izomorfio]] en ĉi tiu kategorio.
 
==Ekzemploj==
 
* La literoj de la alfabeto orditaj laŭ la norma vortara ordo, e.g., ''A'' < ''B'' < ''C'' kaj tiel plu.
* Iu ajn subaro de tutecetotale orda aro, kun la limigo de la ordo super la tuta aro.▼
 
▲* Iu ajn subaro de tutece orda aro, kun la limigo de la ordo super la tuta aro.
 
* Iu ajn parte orda aro ''X'' kie ĉiuj du eroj estas kompareblaj (tio estas se ''a'',''b'' estas membroj de ''X'', aŭ ''a''≤''b'' aŭ ''b''≤''a'' aŭ ambaŭ.
 
* Iu ajn aro de [[kardinala nombro|kardinalo]]j aŭ [[numero (matematiko)|ordaj numeroj]] (pli forte, tiuj estas [[Bona ordo|bonaj ordoj]]).
* Se <math>X</math> estas iu ajn aro kaj <math>f</math> reciproke unuvalora surĵeto de iu ajn tutecetotale orda aro al <math>X</math> tiam <math>f</math> produktas tutecantotalan ordadonordon sur <math>X</math> per tio fari <math>x_1 < x_2</math> se kaj nur se <math>x_1 = f(n_1)</math> kaj <math>x_2 = f(n_2)</math> kaj <math>n_1 < n_2</math>.▼
 
* La [[leksikografia ordo|leksikographia (vortara, alfabeta) ordo]] sur la [[kartezia produto]] de aro de tutecetotale ordaj aroj indicita per orda numero, mem estas tutecatotala ordo. Ekzemple, iu ajn aro de vortoj ordita alfabete estas tutecatotala ordo, rigardata kiel subaro de kartezia produto de kalkulebla kvanto de kopioj de aro formita per aldonado de la spaco-simbolo al la alfabeto (kaj difinado spacon esti malpli ol iu ajn litero).▼
▲* Se <math>X</math> estas iu ajn aro kaj <math>f</math> reciproke unuvalora surĵeto de iu ajn tutece orda aro al <math>X</math> tiam <math>f</math> produktas tutecan ordadon sur <math>X</math> per tio fari <math>x_1 < x_2</math> se kaj nur se <math>x_1 = f(n_1)</math> kaj <math>x_2 = f(n_2)</math> kaj <math>n_1 < n_2</math>.
* ''[[Naturaj nombroj]]'', ''[[entjeraj nombroj]]'', ''[[racionalaj nombroj]]'', kaj ''[[reelaj nombroj]]'' orditaj per la kutimaj malpli ol (<) aŭ pli granda ol (>) rilatoj estas ĉiuj tutecajtotalaj ordoj. Ĉiu el ĉi tiuj povas esti montrita esti la unika (al en izomorfio) ''plej malgranda'' ekzemplo de tutecetotale orda aro kun certa propraĵo, (tutecatotala ordo ''A'' estas la ''plej malgranda'' kun certa propraĵo se kiam ajn ''B'' havas la propraĵon, tiam estas orda izomorfio de ''A'' al subaro de ''B'').:▼
 
**La ''entjerojnaturaj nombroj'' konstituas la plej malgrandan tutecetotale ordan aron kun neniu supra neksen [[subasupera limo]].▼
▲* La [[leksikografia ordo|leksikographia (vortara, alfabeta) ordo]] sur la [[kartezia produto]] de aro de tutece ordaj aroj indicita per orda numero, mem estas tuteca ordo. Ekzemple, iu ajn aro de vortoj ordita alfabete estas tuteca ordo, rigardata kiel subaro de kartezia produto de kalkulebla kvanto de kopioj de aro formita per aldonado de la spaco-simbolo al la alfabeto (kaj difinado spacon esti malpli ol iu ajn litero).
**La ''entjeroj'' konstituas la plej malgrandan totale ordan aron kun neniu supra nek [[suba limo]].
 
**La ''racionalaj nombroj'' konstituas la plej malgrandan tutecetotale ordan aron sen supra aŭ suba baro, kiu estas ''densa'' en la senco ke (''a'', ''b'') estas ne-malplena por ĉiu ''a'' < ''b''.▼
▲* ''[[Naturaj nombroj]]'', ''[[entjeraj nombroj]]'', ''[[racionalaj nombroj]]'', kaj ''[[reelaj nombroj]]'' orditaj per la kutimaj malpli ol (<) aŭ pli granda ol (>) rilatoj estas ĉiuj tutecaj ordoj. Ĉiu el ĉi tiuj povas esti montrita esti la unika (al en izomorfio) ''plej malgranda'' ekzemplo de tutece orda aro kun certa propraĵo, (tuteca ordo ''A'' estas la ''plej malgranda'' kun certa propraĵo se kiam ajn ''B'' havas la propraĵon, tiam estas orda izomorfio de ''A'' al subaro de ''B'').:
**La ''naturajreelaj nombroj'' konstituas la plej malgrandan tutecenelimitan [[koneksa spaco|koneksan]] totale ordan aron. sen(Vidu [[superapli limo]]sube por la difino de la topologio.)
▲**La ''entjeroj'' konstituas la plej malgrandan tutece ordan aron kun neniu supra nek [[suba limo]].
▲**La ''racionalaj nombroj'' konstituas la plej malgrandan tutece ordan aron sen supra aŭ suba baro, kiu estas ''densa'' en la senco ke (''a'', ''b'') estas ne-malplena por ĉiu ''a'' < ''b''.
**La ''reelaj nombroj'' konstituas la plej malgrandan nelimitan [[Konekteco|koneksan]] tutece ordan aron. (Vidu pli sube por la difino de la topologio.)
 
==Pluaj konceptoj==
 
===Topologio de ordo===
Por ĉiu tutecetotale orda aro ''X'' ni povas difini la '''malfermitajn [[Intervalo (matematiko)|intervalojn]]''' (''a'', ''b'') = {''x'' : ''a'' < ''x'' kaj ''x'' < ''b''}, (−∞, ''b'') = {''x'' : ''x'' < ''b''}, (''a'', ∞) = {''x'' : ''a'' < ''x''} kaj (−∞, ∞) = ''X''. Ni povas uzi malfermitajn intervalojn por difini [[topologio]]n sur ĉiuorda aro, la [[topologio de ordo]].▼
 
▲Por ĉiu tutece orda aro ''X'' ni povas difini la '''malfermitajn [[Intervalo (matematiko)|intervalojn]]''' (''a'', ''b'') = {''x'' : ''a'' < ''x'' kaj ''x'' < ''b''}, (−∞, ''b'') = {''x'' : ''x'' < ''b''}, (''a'', ∞) = {''x'' : ''a'' < ''x''} kaj (−∞, ∞) = ''X''. Ni povas uzi malfermitajn intervalojn por difini [[topologio]]n sur ĉiuorda aro, la [[topologio de ordo]].
 
Notu ke la formala difino de orda aro kiel aro parigita kun ordo garantias, ke estas unika [[ordotopologio]] sur kiu ajn orda aro. Tamen, en praktiko, la distingo inter aro kiu havas ordon sur ĝi difinitan kaj la paro de la aro kaj asociita ordo estas kutime ignorata. Tial por eviti konfuzon kiam pli ol unu ordo estas uzata en kune kun aro estas ordinare paroli pri la ordotopologio produktita de aparta ordo. Ekzemple, se '''N''' estas la naturaj nombroj, < estas malpli ol kaj > pli granda ol, ni povus paroli pri ordotopologio sur '''N''' produktita de < kaj pri la ordotopologio sur '''N''' produktita de > (en ĉi tiu kazo ili okaze estas identaj, sed tio ne okazos ĝenerale).
 
La ordotopologio povas esti montrita [[herede normala]].
<!--[[Hausdorff-a spaco|Hausdorff-a (_T2_).]] kion???????-->
 
=== Kompleteco===
TuteceTotale orda aro estas dirata kompleta, se ĉiu subaro kiu havas [[supera limo|superan limon]], ankaŭ havas [[malpleja supera limo|malplejan superan limon]]. Estas nombro de rezultoj rilatantaj propraĵojn de la ordotopologio al la kompleteco de X:
*Se la ordotopologio sur ''X'' estas koneksa, ''X'' estas kompleta.
*''X'' estas koneksa sub la ordotopologio, se kaj nur se ĝi estas kompleta kaj mankas ''breĉo'' en ''X'' (breĉo estas du punktoj ''a'' kaj ''b'' en ''X'' sen ''c'' kontentiganta ''a'' &lt; ''c'' &lt; ''b''.)
Linio 61 ⟶ 54:
 
=== Ĉenoj ===
Dum el difina vidpunkto, '''ĉeno''' nure estas sinonimo por '''tutecetotale orda aro''', la termino kutime priskribas tutecetotale orditan subaron de iu [[parta ordo]]. Tial la reelaj nombroj kredeble priskribiĝus kiel '''tutecetotale orda aro'''. Tamen, se ni konsiderus ĉiujn subarojn de la entjeroj ''parte orditaj'' per inkludado tiam la tutecetotale orda aro sub inkludo { ''I''<sub>''n''</sub> : ''n'' estas natura nombro} difinita supre en ekzemplo ofte nomiĝus ''ĉeno''.▼
 
La emo uzi la vorton ''ĉeno'' por nomi tutecetotale orditan subaron de parta ordo verŝajne estas pro la grava rolo kiun tiaj tutecetotale orditaj subaroj ludas en la [[Lemo de Zorn]].▼
▲Dum el difina vidpunkto, '''ĉeno''' nure estas sinonimo por '''tutece orda aro''', la termino kutime priskribas tutece orditan subaron de iu [[parta ordo]]. Tial la reelaj nombroj kredeble priskribiĝus kiel '''tutece orda aro'''. Tamen, se ni konsiderus ĉiujn subarojn de la entjeroj ''parte orditaj'' per inkludado tiam la tutece orda aro sub inkludo { ''I''<sub>''n''</sub> : ''n'' estas natura nombro} difinita supre en ekzemplo ofte nomiĝus ''ĉeno''.
 
▲La emo uzi la vorton ''ĉeno'' por nomi tutece orditan subaron de parta ordo verŝajne estas pro la grava rolo kiun tiaj tutece orditaj subaroj ludas en la [[Lemo de Zorn]].
 
===Finiaj tutecaj ordoj===
 
=== Finia totala ordo ===
Simpla argumento per nombrado konfirmos, ke kiu ajn finia tutecatotala ordo (kaj tial kiu ajn subaro de tiu) havas plej malgrandan eron. Tial ĉiu finia tutecatotala ordo estas fakte bona ordo. Ĉu per rekta pruvo, ĉu per observado, ke ĉiu bona ordo estas orde izomorfia al [[numero (matematiko)|orda numero]], oni povas montri, ke ĉiu finia tutecatotala ordo estas orde izomorfia al komenca segmento de la naturaj nombroj ordita per <. Alivorte, tutecantotala ordonordo kun k eroj produktas [[reciproke unuvalora surĵeto]] per la unuaj k naturaj numeroj. Tial estas ordinare indeksi finiajn tutecajntotalajn ordojn aŭ nombreblajn bonajn ordojn per naturaj numeroj per maniero kiu respektas la ordon.
 
Komparu kun [[parta ordo]], al kiu mankas la tria kondiĉo. Ekzemplo de parta ordo estas la rilato [[okazis-antaŭe]].
Elŝutita el "https://eo.wikipedia.org/wiki/Totala_ordo"