Totala ordo: Malsamoj inter versioj

Aro parigita kun asociita totala ordo sur ĝi nomiĝas '''totale ordaordita aro''', '''linie ordaordita aro''', '''simple ordaordita aro''', aŭ '''ĉeno'''.

Ni tiam skribas ''a'' ≤ ''b'' se kaj nur se ''a = a ∧ b''. Sekvas, ke totale ordaordita aro estas [[distribueca latiso]].

* Iu ajn subaro de totale ordaordita aro, kun la limigo de la ordo super la tuta aro.

* Iu ajn parte ordaordita aro ''X'' kie ĉiuj du eroj estas kompareblaj (tio estas se ''a'',''b'' estas membroj de ''X'', aŭ ''a''≤''b'' aŭ ''b''≤''a'' aŭ ambaŭ.

* Se <math>X</math> estas iu ajn aro kaj <math>f</math> reciproke unuvalora surĵeto de iu ajn totale ordaordita aro al <math>X</math> tiam <math>f</math> produktas totalan ordon sur <math>X</math> per tio fari <math>x_1 < x_2</math> se kaj nur se <math>x_1 = f(n_1)</math> kaj <math>x_2 = f(n_2)</math> kaj <math>n_1 < n_2</math>.

* ''[[Naturaj nombroj]]'', ''[[entjeraj nombroj]]'', ''[[racionalaj nombroj]]'', kaj ''[[reelaj nombroj]]'' orditaj per la kutimaj malpli ol (<) aŭ pli granda ol (>) rilatoj estas ĉiuj totalaj ordoj. Ĉiu el ĉi tiuj povas esti montrita esti la unika (al en izomorfio) ''plej malgranda'' ekzemplo de totale ordaordita aro kun certa propraĵo, (totala ordo ''A'' estas la ''plej malgranda'' kun certa propraĵo se kiam ajn ''B'' havas la propraĵon, tiam estas orda izomorfio de ''A'' al subaro de ''B'').:

Por ĉiu totale ordaordita aro ''X'' ni povas difini la '''malfermitajn [[Intervalo (matematiko)|intervalojn]]''' (''a'', ''b'') = {''x'' : ''a'' < ''x'' kaj ''x'' < ''b''}, (−∞, ''b'') = {''x'' : ''x'' < ''b''}, (''a'', ∞) = {''x'' : ''a'' < ''x''} kaj (−∞, ∞) = ''X''. Ni povas uzi malfermitajn intervalojn por difini [[topologio]]n sur ĉiuordaĉiu totale ordita aro, la [[topologioorda detopologio|ordan ordotopologion]].

Notu ke la formala difino de ordaordita aro kiel aro parigita kun ordo garantias, ke estasekzistas unika [[ordotopologio]] sur kiuajna ajntotale ordaordita aro. Tamen, en praktiko, la distingo inter aro kiu havas ordon sur ĝi difinitan kaj la paro de la aro kaj asociita ordo estas kutime ignorata. Tial por eviti konfuzon kiam pli ol unu ordo estas uzata en kune kun aro estas ordinare paroli pri la ordotopologio produktita de aparta ordo. Ekzemple, se '''N''' estas la naturaj nombroj, < estas malpli ol kaj > pli granda ol, ni povus paroli pri ordotopologio sur '''N''' produktita de < kaj pri la ordotopologio sur '''N''' produktita de > (en ĉi tiu kazo ili okaze estas identaj, sed tio ne okazos ĝenerale).

Totale ordaordita aro estas dirata '''kompleta''', se ĉiu subaro kiu havas [[supera limo|superan limon]], ankaŭ havas [[malpleja supera limo|malplejan superan limon]]. Estas nombro de rezultoj rilatantaj propraĵojn de la ordotopologio al la kompleteco de X:

Dum el difina vidpunkto, '''ĉeno''' nure estas sinonimo por '''totale ordaordita aro''', la termino kutime priskribas totale orditan subaron de iu [[parta ordo]]. Tial la reelaj nombroj kredeble priskribiĝus kiel '''totale ordaordita aro'''. Tamen, se ni konsiderus ĉiujn subarojn de la entjeroj ''parte orditaj'' per inkludado tiam la totale ordaordita aro sub inkludo { ''I''_''n'' : ''n'' estas natura nombro} difinita supre en ekzemplo ofte nomiĝus ''ĉeno''.