Rando (topologio): Malsamoj inter versioj

599 bitokojn forigis ,  antaŭ 1 jaro
sen resumo de redaktoj
e (eno → malfermaĵo laŭ NPIV http://vortaro.net/#malfermaĵo)
{{aliaj signifoj|Sudafrika rando}}
:''Por malsama nocio de rando ĉe [[sternaĵo]]j, vidu en artikolo [[rando (sternaĵo)]].''
[[Dosiero:Runge theorem.svg|thumb|Aro en '''R'''Eŭklida ebeno <supmath>\mathbb R^2</supmath>: <br /> rando - malhela(malhele blua,) <br />kaj [[mafermaĵomalfermaĵo]] - hela(hele verdblua)]]
----
[[Dosiero:Runge theorem.svg|thumb|Aro en '''R'''<sup>2</sup>: <br /> rando - malhela blua, <br /> [[mafermaĵo]] - hela verdblua]]
En [[topologio]], '''rando''' de subaro ''S'' de [[topologia spaco]] ''X'' estas aro de punktoj kiuj povas esti aliritaj ambaŭ de ''S'' kaj de ekstere de ''S''.
 
Pli formale, rando estas aro de punktoj en la [[fermaĵo (topologio)|fermaĵo]] de ''S'', ne apartenanta al la [[malfermaĵo]] de ''S''. Ĉiu punkto en la rando de ''S'' estas '''randa punkto''' de ''S''. Skribmanieroj uzitauzata por rando de aro ''S'' estas ''bd(''S)''), ''fr(''S)''), ''∂SS''.
 
== DifinojDifino ==
Supozu [[topologia spaco|topologian spacon]] <math>X</math> kaj ĝian [[subaro]]n <math>S \subseteq X</math>. Jen kelkaj ekvivalentaj difinoj de la rando de <math>S</math>:
* La aro de punktoj ''p'' de ''X'' tiaj, ke ĉiu [[najbaraĵo (topologio)|najbaraĵoĉirkaŭaĵo]] de ''p'' enhavas almenaŭ unu punkto de ''S'' kaj almenaŭ unu punkton ne de ''S''.
* La [[fermaĵo]] <math>\bar S</math> de ''S'' senminus la [[mafermaĵo]] de ''S'': <math>\partial S = \bar{S}\setminus S^o \circ</math>. de ''S'':
* <math>\partial S = \bar S\setminus S^\circ</math>.
* La [[komunaĵo]] de la fermaĵo de ''S'' kun la fermaĵo de ĝia [[komplemento (matematiko)|komplemento]]: <math>\partial S = \bar{S} \cap \overline{ (X \setminus S)}. </math>
*:<math>\partial S = \bar S \cap \overline{ (X \setminus S)}</math>.
 
== Propraĵoj ==
Estas kelkaj komunaj kaj ekvivalentaj difinoj de la rando de subaro ''S'' de topologia spaco ''X'':
* La rando de aro estas [[fermita aro]].
* La rando de aro estas la rando de la komplemento de la aro: <math>\partial S = \complement\partial S^c</math>.
* ''p'' estas randa punkto de aro [[se kaj nur se]] ĉiu najbaraĵo de ''p'' enhavas almenaŭ unu punkton en la aro kaj almenaŭ unu punkton ne en la aro.
* Aro estas [[fermita aro]] [[se kaj nur se]] ĝi enhavas sian randon, kaj [[malfermita aro]] [[se kaj nur se]] ĝi estas disasenkomunaĵa dekun ĝia rando.
* La [[fermaĵo]] de aro egalas alla kunaĵo[[kunigaĵo]]n de la aro kun ĝia rando. <math>\bar{S} = S \cup\partial S </math>.
*:<math>\bar S = S \cup\partial S </math>
* La rando de aro estas [[malplena aro]] [[se kaj nur se]] la aro estas ambaŭ fermita kaj malfermita, kio estas [[fermito-malfermita aro]].
* En '''R'''la [[eŭklida spaco]] <supmath>\mathbb R^n</supmath>, ĉiu ([[fermita, fermis) aro]] estas la rando de iu aro.
 
=== Rando de rando ===
* La aro de punktoj ''p'' de ''X'' tiaj ke ĉiu [[najbaraĵo (topologio)|najbaraĵo]] de ''p'' enhavas almenaŭ unu punkto de ''S'' kaj almenaŭ unu punkton ne de ''S''.
Por ĉiu aro ''S'',
* La fermaĵo de ''S'' sen la [[mafermaĵo]] de ''S'': <math>\partial S = \bar{S}\setminus S^o </math>.
:''∂S ⊇ ∂∂S'',
* La komunaĵo de la fermaĵo de ''S'' kun la fermaĵo de ĝia [[komplemento (matematiko)|komplemento]]: <math>\partial S = \bar{S} \cap \overline{ (X \setminus S)}. </math>
Por ĉiu aro ''S'', ''∂S ⊇ ∂∂S'', kun egaleco tenanta [[se kaj nur se]] la rando de ''S'' ne havas enajninternajn punktojn.; Ĉiĉi tiutio estas ĉiam vera se ''S'' estas fermita aŭ malfermita. Pro tio ke la rando de ĉiu aro estas fermita, ''∂∂S'' = ∂∂∂S'' por ĉiu aro ''S''.
 
Pro tio ke la rando de ĉiu aro estas fermita,
:''∂∂S'' = ∂∂∂S''
por ĉiu aro ''S''.
 
== Ekzemploj ==
Konsideru la reelan linion '''<math>\mathbb R'''</math> kun la kutima topologio (kio estast.e. la topologio kies [[bazo (topologio)|bazaj aroj]] estas [[malfermita intervalo|malfermitaj intervaloj]]). Do:
 
* <math>\partial (0,5) = \partial [0,5) = \partial (0,5] = \partial [0, 5] = \{0,5 \}\,</math>
Konsideru la reelan linion '''R''' kun la kutima topologio (kio estas la topologio kies [[bazo (topologio)|bazaj aroj]] estas [[malfermita intervalo|malfermitaj intervaloj]]). Do:
 
* <math>\partial (0,5) = \partial [0,5) = \partial (0,5] = \partial [0, 5] = \{0,5 \}\,</math>
* <math>\partial \varnothing = \varnothing</math>
* <math>\partial \mathbb{ Q} = \mathbb{ R}</math> ('''<math>\mathbb Q'''</math> estas arola subaro de la [[racionalaj nombroj]])
* <math>\partial \big(\mathbb{ Q}\cap\left[0,1\right]\big) = \left[0,1\right]</math>
La lastaj du ekzemploj ilustras tion, ke la rando de [[densa aro]] kun malplena [[mafermaĵo]] estas ĝia [[fermaĵo]].
 
=== Netriviala subaro, kies rando estas malplena ===
La lastaj du ekzemploj ilustras tion ke la rando de [[densa aro]] kun malplena [[mafermaĵo]] estas ĝia fermaĵo.
En la spaco <math>\mathbb Q</math> de racionalaj nombroj kun la kutima topologio (la [[subspaca topologio]] de '''<math>\mathbb R'''</math>), la rando de la aro de nombroj, kies la [[kvadrato (algebro)|kvadrato]] estas malpli ol 2 estas malplena, ĉar la [[√2]] ne apartenas al la spaco.
 
=== Dependeco de la rando laŭ la topologio ===
En la spaco de racionalaj nombroj kun la kutima topologio (la [[subspaca topologio]] de '''R'''), la rando de la aro de nombroj kies la [[kvadrato (algebro)|kvadrato]] estas malpli ol 2 estas malplena, ĉar la [[√2]] ne apartenas al la spaco.
La rando de aro estas [[topologio|topologia]] nocio kaj povas ŝanĝiĝi se ŝanĝiĝas la topologio. Ekzemple, por la kutima topologio sur <math>\mathbb R^2</math>, la rando de fermita [[disko]]
 
:''Ω={(x, y): x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> ≤ 1}''
La rando de aro estas [[topologio|topologia]] nocio kaj povas ŝanĝiĝi se ŝanĝiĝas la topologio. Ekzemple, por la kutima topologio sur '''R'''<sup>2</sup>, la rando de fermita [[disko]] ''Ω={(x, y): x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> ≤ 1}'' estas la [[cirklo]] ĉirkaŭbaranta cirklo: ''∂Ω = {(x, y) | x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> = 1}''. Se la sama disko estas vidata kiel aro en '''R'''<sup>3</sup> kun ĝia kutima topologio, kio estas ''Ω={(x, y, 0): x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> ≤ 1}'',
estas la [[cirklo]] ĉirkaŭ la disko:
tiam la rando de la disko estas la tuta disko mem: ''∂Ω = Ω''. Se la disko estas vidita kiel la tuta topologia spaco (kun la [[konkludita topologio|konkludis topologio]]), tiam la rando de la disko estas malplena.
:''∂Ω = {(x, y) | x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> = 1}''.
 
Se la sama disko estas vidata kiel aro en <math>\mathbb R^3</math> kun ĝia kutima topologio, kiel
== Propraĵoj ==
:''Ω={(x, y, 0): x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> ≤ 1}'',
 
*do Lala rando de arola disko estas [[fermitala tuta disko aro]].mem:
:''∂Ω = Ω''.
* La rando de aro estas la rando de la komplemento de la aro: <math>\partial S = \partial S^c</math>.
tiam la rando de la disko estas la tuta disko mem: ''∂Ω = Ω''. Se la disko estas viditavidata kiel la tuta topologia spaco (kun la [[konkludita topologio|konkludis topologio]]), tiam la rando de la disko estas malplena.:
De ĉi tie:
:''∂Ω = ∅''.
* ''p'' estas randa punkto de aro [[se kaj nur se]] ĉiu najbaraĵo de ''p'' enhavas almenaŭ unu punkton en la aro kaj almenaŭ unu punkton ne en la aro.
* Aro estas [[fermita aro]] se kaj nur se ĝi enhavas sian randon, kaj [[malfermita aro]] se kaj nur se ĝi estas disa de ĝia rando.
* La [[fermaĵo]] de aro egalas al kunaĵo de la aro kun ĝia rando. <math>\bar{S} = S \cup\partial S </math>.
* La rando de aro estas malplena se kaj nur se la aro estas ambaŭ fermita kaj malfermita, kio estas [[fermito-malfermita aro]].
* En '''R'''<sup>n</sup>, ĉiu (fermita, fermis) aro estas la rando de iu aro.
 
<!--{|class=wikitable
|[[Dosiero:AccumulationAndBoundaryPointsOfS.PNG]]
|-
| [[Koncepto|Koncepta]] [[diagramo de Venn]] montranta la interrilatojn inter malsamaj punktoj de subaro S de '''R'''<sup>n</sup>.
: A = aro de [[akumuliĝa punkto|akumuliĝaj punktoj]] de S,
: B = aro de '''randaj punktoj''' de S
: areo alozita verda = aro de [[ena punkto|enaj punktoj]] de S,
: areo alozita flava = aro de [[izolita punkto|izolitaj punktoj]] de S,
: areoj alozitaj nigraj = malplenaj aroj.
Ĉiu punkto de S estas ena punkto malinkluzive aŭ randa punkto. Ĉiu punkto de S estas akumuliĝa punkto malinkluzive aŭ izolita punkto. Ankaŭ, ĉiu randa punkto de S estas akumuliĝa punkto malinkluzive aŭ izolita punkto. Izolita punkto estas ĉiam randa punkto.
|}-->
== Rando de rando ==
 
Por ĉiu aro ''S'', ''∂S ⊇ ∂∂S'', kun egaleco tenanta se kaj nur se la rando de ''S'' ne havas enajn punktojn. Ĉi tiu estas ĉiam vera se ''S'' estas fermita aŭ malfermita. Pro tio ke la rando de ĉiu aro estas fermita, ''∂∂S'' = ∂∂∂S'' por ĉiu aro ''S''.
 
== Vidu ankaŭ ==
 
* [[Fermita aro]]
* [[Malfermita aro]]