Rando (topologio): Malsamoj inter versioj
| [nekontrolita versio] | [kontrolita revizio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
e eno → malfermaĵo laŭ NPIV http://vortaro.net/#malfermaĵo |
Neniu resumo de redakto |
||
Linio 1:
{{aliaj signifoj|Sudafrika rando}}
[[Dosiero:Runge theorem.svg|thumb|Aro en
▲[[Dosiero:Runge theorem.svg|thumb|Aro en '''R'''<sup>2</sup>: <br /> rando - malhela blua, <br /> [[mafermaĵo]] - hela verdblua]]
En [[topologio]], '''rando''' de subaro ''S'' de [[topologia spaco]] ''X'' estas aro de punktoj kiuj povas esti aliritaj ambaŭ de ''S'' kaj de ekstere de ''S''.
Pli formale, rando estas aro de punktoj en la [[
==
Supozu [[topologia spaco|topologian spacon]] <math>X</math> kaj ĝian [[subaro]]n <math>S \subseteq X</math>. Jen kelkaj ekvivalentaj difinoj de la rando de <math>S</math>:
* La aro de punktoj ''p'' de ''X'' tiaj, ke ĉiu [[
* La [[fermaĵo]] <math>\bar S</math> de ''S''
* <math>\partial S = \bar S\setminus S^\circ</math>.
* La [[komunaĵo]] de la fermaĵo de ''S'' kun la fermaĵo de ĝia [[komplemento (matematiko)|komplemento]]:
*:<math>\partial S = \bar S \cap \overline{ (X \setminus S)}</math>.
== Propraĵoj ==▼
* La rando de aro estas [[fermita aro]].
* La rando de aro estas la rando de la komplemento de la aro: <math>\partial S = \complement\partial S
* ''p'' estas randa punkto de aro [[se kaj nur se]] ĉiu najbaraĵo de ''p'' enhavas almenaŭ unu punkton en la aro kaj almenaŭ unu punkton ne en la aro.▼
* Aro estas [[fermita aro]] [[se kaj nur se]] ĝi enhavas sian randon, kaj [[malfermita aro]] [[se kaj nur se]] ĝi estas
* La [[fermaĵo]] de aro egalas
*:<math>\bar S = S \cup\partial S </math>
* La rando de aro estas [[malplena aro]] [[se kaj nur se]] la aro
* En
=== Rando de rando ===▼
▲* La aro de punktoj ''p'' de ''X'' tiaj ke ĉiu [[najbaraĵo (topologio)|najbaraĵo]] de ''p'' enhavas almenaŭ unu punkto de ''S'' kaj almenaŭ unu punkton ne de ''S''.
Por ĉiu aro ''S'',
▲* La fermaĵo de ''S'' sen la [[mafermaĵo]] de ''S'': <math>\partial S = \bar{S}\setminus S^o </math>.
:''∂S ⊇ ∂∂S'',
▲* La komunaĵo de la fermaĵo de ''S'' kun la fermaĵo de ĝia [[komplemento (matematiko)|komplemento]]: <math>\partial S = \bar{S} \cap \overline{ (X \setminus S)}. </math>
Pro tio ke la rando de ĉiu aro estas fermita,
:''∂∂S'' = ∂∂∂S''
por ĉiu aro ''S''.
== Ekzemploj ==
Konsideru la reelan linion
▲Konsideru la reelan linion '''R''' kun la kutima topologio (kio estas la topologio kies [[bazo (topologio)|bazaj aroj]] estas [[malfermita intervalo|malfermitaj intervaloj]]). Do:
▲* <math>\partial (0,5) = \partial [0,5) = \partial (0,5] = \partial [0, 5] = \{0,5 \}\,</math>
* <math>\partial \varnothing = \varnothing</math>
* <math>\partial \mathbb
* <math>\partial \big(\mathbb
La lastaj du ekzemploj ilustras tion, ke la rando de [[densa aro]] kun malplena [[mafermaĵo]] estas ĝia [[fermaĵo]].▼
=== Netriviala subaro, kies rando estas malplena ===
▲La lastaj du ekzemploj ilustras tion ke la rando de [[densa aro]] kun malplena [[mafermaĵo]] estas ĝia fermaĵo.
En la spaco <math>\mathbb Q</math> de racionalaj nombroj kun la kutima topologio (la [[subspaca topologio]] de
=== Dependeco de la rando laŭ la topologio ===
▲En la spaco de racionalaj nombroj kun la kutima topologio (la [[subspaca topologio]] de '''R'''), la rando de la aro de nombroj kies la [[kvadrato (algebro)|kvadrato]] estas malpli ol 2 estas malplena, ĉar la [[√2]] ne apartenas al la spaco.
La rando de aro estas [[topologio|topologia]] nocio kaj povas ŝanĝiĝi se ŝanĝiĝas la topologio. Ekzemple, por la kutima topologio sur <math>\mathbb R^2</math>, la rando de fermita [[disko]]
:''Ω={(x, y): x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> ≤ 1}''
estas la [[cirklo]] ĉirkaŭ la disko:
tiam la rando de la disko estas la tuta disko mem: ''∂Ω = Ω''. Se la disko estas vidita kiel la tuta topologia spaco (kun la [[konkludita topologio|konkludis topologio]]), tiam la rando de la disko estas malplena.▼
:''∂Ω = {(x, y) | x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> = 1}''.
Se la sama disko estas vidata kiel aro en <math>\mathbb R^3</math> kun ĝia kutima topologio, kiel
▲== Propraĵoj ==
:''Ω={(x, y, 0): x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> ≤ 1}'',
:''∂Ω = Ω''.
▲* La rando de aro estas la rando de la komplemento de la aro: <math>\partial S = \partial S^c</math>.
▲
:''∂Ω = ∅''.
▲* ''p'' estas randa punkto de aro [[se kaj nur se]] ĉiu najbaraĵo de ''p'' enhavas almenaŭ unu punkton en la aro kaj almenaŭ unu punkton ne en la aro.
▲* Aro estas [[fermita aro]] se kaj nur se ĝi enhavas sian randon, kaj [[malfermita aro]] se kaj nur se ĝi estas disa de ĝia rando.
▲* La [[fermaĵo]] de aro egalas al kunaĵo de la aro kun ĝia rando. <math>\bar{S} = S \cup\partial S </math>.
▲* La rando de aro estas malplena se kaj nur se la aro estas ambaŭ fermita kaj malfermita, kio estas [[fermito-malfermita aro]].
▲* En '''R'''<sup>n</sup>, ĉiu (fermita, fermis) aro estas la rando de iu aro.
▲== Rando de rando ==
▲Por ĉiu aro ''S'', ''∂S ⊇ ∂∂S'', kun egaleco tenanta se kaj nur se la rando de ''S'' ne havas enajn punktojn. Ĉi tiu estas ĉiam vera se ''S'' estas fermita aŭ malfermita. Pro tio ke la rando de ĉiu aro estas fermita, ''∂∂S'' = ∂∂∂S'' por ĉiu aro ''S''.
== Vidu ankaŭ ==
* [[Fermita aro]]
* [[Malfermita aro]]
| |||