Teoremo de Ĉeva

En eŭklida geometrio, la Ĉeva teoremo asertas, ke se ĉiu vertico de triangulo estas ligita per segmento al iu ajn punkto sur la kontraŭa latero, kaj la tri segmentoj renkontiĝas ĉe renkontpunkto, tiam la produkto de la divida proporcio estas 1; Kaj inverse - se la produkto de la divida proporcio estas 1, tiam la segmentoj renkontiĝas en renkontpunkto (La punto desegnita per O ĉe la ilustraĵo no-1). En ĉi tiu teoremo, la divida proporcio estas kalkulita per signo, kaj validas ankaŭ por ekstera divido. Por la linioj AD, BE kaj CF (vidu desegnon), la produkto estas la produkto ${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{CD}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$ .

Kazo 1: Ĉiuj dividaj segmentoj estas internaj kaj renkontiĝas ĉe la punto O

Kazo 2: Du el la tri segmentoj dividaj (purpuraj) estas eksteraj, krom tiu de la vertico B.

Alia formuliĝo de la teoremo kiu uzas angulojn, konata kiel la " angula chevra teoremo " estas:

${\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\cdot {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}\cdot {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}=1.$

Eblas pruvi, ke la formuliĝoj samvaloras per uzado de la leĝo de sinusoj.

La fakto, ke la tri medianoj en triangulo renkontiĝas en punkto, estas privata kazo, kie ĉiuj rilatoj egalas al unu.

Pruvo

La teoremo havas plurajn geometriajn pruvojn, sed la pruvo en la metodoj de analitika geometrio estas probable la plej simpla el ĉiuj. Ĉar punktoj A, B, C ne estas sur unu rekto, ĉiu punkto sur la ebeno, kaj precipe O (vidu desegnon) estas ilia pezita mezumo, tio signifas, estas pezoj $\ \alpha ,\beta ,\gamma$, kies sumo egalas 1, tiel ke ĝi plenumas: $\ \alpha A+\beta B+\gamma C=O$ .

Ĉar la punkto D situas sur unu linio kun O kaj A, kaj sur alia linio kun B kaj C, jen sekvas: $D={\frac {\beta }{\beta +\gamma }}B+{\frac {\gamma }{\beta +\gamma }}C$ .

do ${\frac {BD}{CD}}={\frac {\gamma }{\beta }}$,

Kaj simile, ${\frac {AF}{FB}}={\frac {\beta }{\alpha }}$,

Kaj ${\frac {CE}{EA}}={\frac {\alpha }{\gamma }}$ .

Tio estas, la aserto de la teoremo estas tio ${\frac {\beta }{\alpha }}\cdot {\frac {\gamma }{\beta }}\cdot {\frac {\alpha }{\gamma }}=1$, Kaj ĉi tiu aserto estas alirebla.

Vidu ankaŭ

• Eŭklida geometrio
• Teoremo de Taleso
• Teoremo de Menelao

Eksteraj Ligiloj

• Interaga pruvo de la proceso de Cheva
• Indico kaj ĝeneraligoj por la proceso de Cheva
• Teoremo de Ĉeva - Trigonometria Formulado
• Eric W. Weisstein, Teoremo de Ĉeva en MathWorld.