3-sternaĵo

En matematiko, 3-sternaĵo estas 3-dimensia sternaĵo. La kategorioj de topologieco, peca lineareco kaj glateco estas ĉiuj ekvivalentaj en tri dimensioj, tiel malgranda distingo estas kutime farata inter topologiaj 3-sternaĵoj kaj glataj 3-sternaĵoj.

3-sternaĵa teorio estas konsiderata kiel parto de malalte dimensia topologio aŭ geometria topologio.

Fenomenoj en tri dimensioj povas esti sufiĉe malsamaj de tiuj por aliaj dimensioj, kaj tiel estas specialigitaj manieroj, kiuj ne ĝeneraliĝas al dimensioj pli grandaj ol tri. Eble surprize, ĉi-tiu speciala rolo gvidis al malkovro de proksimaj ligoj al sternaĵoj de la aliaj terenoj – noda teorio, geometria grupa teorio, hiperbola geometrio, nombroteorio, topologia kvantuma kampa teorio, kalibra teorio, diferencialaj ekvacioj en partaj derivaĵoj.

La ĉefa ideo estas studi 3-sternaĵojn per konsiderado de specialaj surfacoj enigitaj en ilin. Oni povas elekti la surfacon taŭge en la 3-sternaĵo, tiel ke ĝi estas nekunpremebla surfaco.

La fundamentaj grupoj de 3-sternaĵoj informdone montras la geometrian kaj topologian informon pri la 3-sternaĵo.

Gravaj ekzemploj de 3-sternaĵoj

• 3-sfero
• SO(3) (3-dimensia reela projekcia spaco)
• 3-toro
• Eŭklida 3-spaco
• Hiperbola 3-spaco
• Sfero de Poincaré (dekduedra spaco de Poincaré)
• Spaco de Seifert-Weber
• sternaĵo de Gieseking
• Solida botelo de Klein

Hiperbolaj ligaj komplementoj

Jenaj ekzemploj estas aparte konataj kaj studitaj.

• Figuro-8 nodo
• Ligo de Whitehead
• Ringoj de Borromean

Gravaj klasoj de 3-sternaĵoj

La klasoj estas ne nepre reciproke malinkluzivaj.

• Grafea sternaĵo
• sternaĵo de Haken
• Homologeca sfero
• Hiperbola 3-sternaĵo
• I-pakaĵo
• Noda kaj liga komplementoj
• Lensa spaco
• Fibra spaco de Seifert
• Sfera 3-sternaĵo
• Surfacaj pakaĵoj super la cirklo
• Tora pakaĵo

Iuj gravaj strukturoj sur 3-sternaĵoj

• Forkiĝo de Heegaard
• Esenca tavoligo
• Streĉita foliigo
• Kontakta strukturo
• Trispeco

Fundamentaj rezultoj

Iuj rezultoj estas nomataj konjektoj sekve de sia historio.

Pure topologiaj rezultoj:

• Teoremo de Moise – ĉiu 3-sternaĵo havas trianguligon unikan supren ĝis komuna subdivido
  • Tiel ĉiu kompakta 3-sternaĵo havas forkiĝon de Heegaard
• Prima malkomponaĵa teoremo
• Finieco de Kneser-Haken
• Cikla teoremo
• Sfera teoremo
• Teoremo de Annulus
• Tora teoremo
• JSJ-malkomponaĵo – la tora malkomponaĵo
• Kerna teoremo de Scott
• Teoremo de Lickorish-Wallace
• Teoremoj de Waldhausen pri topologia nefleksebleco
• Konjekto de Waldhausen pri forkiĝoj de Heegaard

Teoremoj kie geometrio ludas gravan rolon en la pruvo:

• Konjekto de Smith
• Cikla kirurgia teoremo

Rezultoj eksplicite ligantaj geometrion kaj topologion:

• Teoremo pri hiperbola kirurgio de Dehn de Thurston
• Teoremo de Jorgensen-Thurston, laŭ kiu la aro de finiaj volumenoj de hiperbolaj 3-sternaĵoj havas ordon de speco $\omega ^{\omega }$.
• Geometriga teoremo de Thurston pri sternaĵoj de Haken
• Konjekto pri malsovaĝeco, ankaŭ nomata konjekto de Marden aŭ konjekto pri malsovaĝaj finoj
• Fina tavoliga konjekto

Gravaj konjektoj

Iuj el la konjektoj estas opiniataj kiel solvitaj.

• Konjekto de Poincaré
• Geometriiga konjekto de Thurston
• Konjekto pri virtuala fibreco
• Konjekto pri virtuala Haken-eco
• Kabla konjekto
• Surfaca subgrupa konjekto
• Simpla cikla konjekto
• La plej malgranda hiperbola 3-sternaĵo estas la sternaĵo de Weeks
• Konjekto de Lubotzy-Sarnak pri propraĵa taŭo

Vidu ankaŭ

• 1-sternaĵo
• 2-sternaĵo
• 4-sternaĵo
• 5-sternaĵo
• Tria dimensio

Eksteraj ligiloj

• [1] Hatcher, Notes on basic 3-manifold topology – Notoj pri baza 3-sternaĵa topologio