Malfermi la ĉefan menuon

En teorio de probabloj la atendata valoro (aŭ matematika ekspekto) de hazarda variablo estas la sumo de probabloj de ĉiuj eblaj rezultoj de la eksperimento, multiplikitaj per respektivaj valoroj de la variablo. Tial, ĝi prezentas la averaĝan kvanton, kiun oni "atendas" havi de la ekperimentado, se ĝi estas ripetita multfoje. Notu, ke la valoro mem estas tute ne atendata en la ĝenerala senco; ĝi povas esti malverŝajna aŭ tute neebla. Ludo aŭ situacio, en kiu la atendita valoro por la ludanto estas nulo (alivorte - nek gajno, nek malgajno) estas nomita "justa ludo".

Ekzemple, ĵetkubo povas doni egalprobable nombrojn 1, 2, 3, 4, 5, 6. Do la probablo de ĉiu el ĉi tiuj nombroj estas 1/6. Do la atendata valoro estas

(1/6)*1 + (1/6)*2 + (1/6)*3 + (1/6)*4 + (1/6)*5 + (1/6)*6 = 3.5 .

Matematika difinoRedakti

Ĝenerale, se   estas hazarda variablo difinita sur probablospaco  , do la atendita valoro de   (signita kiel   aŭ iam   ) estas difinita kiel

 

kie la lebega integralo estas uzata. Notu, ke ne ĉiu hazarda variablo havas atenditan valoron, ĉar la integralo povas ne ekzisti (ekzemple por la koŝia distribuo). Du variabloj kun la sama probablodistribuo havas la saman atenditan valoron, se ĝi estas difinita.

Se   estas diskreta hazarda variablo kun valoroj  ,  , ... kaj respektivaj probabloj  ,  , ... (kiuj sume estas 1) do   povas esti komputita kiel la sumo de serio

 

kiel en la ekzemplo menciita pli supre.

Se la probablodistribuo de   havas probablodensan funkcion  , tiam la atendita valoro povas esti komputita kiel

 

Se   estas konstanta hazarda variablo   por iu fiksita reela nombro  , do la atendita valoro de   estas ankaŭ  .

La atendita valoro de ajna funkcio de x, g(x), kun respekto al la probablodensa funkcio f(x) estas donita per

 

PropraĵojRedakti

LinearecoRedakti

La atendata-valora operatoro (aŭ ekspekta operatoro)   estas lineara en la senco, ke

 

por ĉiuj du hazardaj variabloj   kaj   (kiuj devas esti difinitaj sur la sama probablospaco) kaj ĉiuj reelaj nombroj   kaj  .

Ripetita ekspektoRedakti

Por ĉiuj du hazardaj variabloj   oni povas difini la kondiĉan ekspekton:

 

Tiam la ekspekto de  

 

De ĉi tie jena ekvacio sekvas:

 

La dekstra flanko de ĉi tiu ekvacio nomiĝas la ripetita ekspekto. Ĉi tiu propozicio estas traktita en leĝo de tuteca ekspekto.

NeegalaĵoRedakti

Se hazarda variablo X estas ĉiam malpli ol aŭ egala al alia hazarda variablo Y, do la ekspekto de X estas malpli ol aŭ egala al tiu de Y:

Se  , tiam  .

Aparte, ĉar   kaj  , la absoluta valoro de ekspekto de hazarda variablo estas malpli aŭ egala al la ekspekto de ĝia absoluta valoro:

 

PrezentoRedakti

Jena formulo veras por ĉiu nenegativa reelvalora hazarda variablo   tia ke  ) kaj pozitiva reela nombro  :

 

NemultiplikecoRedakti

Ĝenerale, la atendita-valora operatoro estas ne multiplika, kio signifas, ke   ne estas bezone egala al  , escepte se   kaj   estas sendependajnekorelaciigitaj. Ĉi tiu manko de multiplikeco necesigas studojn de kunvarianco kaj korelacio.

Funkcia ne-invariantecoRedakti

Ĝenerale, la ekspekta operatoro kaj funkcioj de hazarda variablo ne estas komutecaj; tio estas ke

 

Vidu ankaŭRedakti