Formulo de Herono

En geometrio, formulo de Herono estas formulo kiu ligas areon A de triangulo kun longoj de ĝiaj lateroj a, b, c:

Triangulo kun lateroj a, b, c.

$A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

kie s estas la duonperimetro de la triangulo:

$s={\frac {a+b+c}{2}}.$

La formulo povas esti skribita ankaŭ kiel:

$A={\ {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}}\ \over 4}$

$A={\ {\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}\ \over 4}$

$A={\ {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}\ \over 4}.$

Historio

La formulo estas skribita de Herono de Aleksandrio, kaj pruvo troviĝas en lia libro, Metrica, skribita en proksimume 60. Estas sugesto ke Arkimedo sciis la formulon. Formulo ekvivalenta al tiu de Herono nome:

$A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}$

estis esplorita en Ĉinio sendepende de la grekoj. Ĝi estis publikigita en Shushu Jiuzhang (Matematika traktato en naŭ sekcioj), skribita de Qin Jiushao kaj publikigita en 1247.

Pruvo

Jen estas moderna pruvo, kiu uzas algebron kaj trigonometrion kaj estas sufiĉe malsimila al tiu provizita de Herono. Estu a, b, c longoj de la lateroj de la triangulo kaj A, B, C la anguloj kontraŭaj al tiuj lateroj. Tiam

$\cos(C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

laŭ la leĝo de kosinusoj. De ĉi tie:

$\sin(C)={\sqrt {1-\cos ^{2}(C)}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$.

La alto de la triangulo al bazo a havas longon b sin(C), kaj de ĉi tio

$A\,$	$={\frac {1}{2}}ab\sin(C)$
	$={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}$
	$={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}$
	$={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}$
	$={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))((c+(a-b))((a+b)-c))((a+b)+c)}}$
	$={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.$

La faktorigo de diferenco de du kvadratoj estis uzita dufoje.

Cifereca stabileco

Formulo de Herono en sia klasika formo, donita pli supre, estas ciferece malstabila por trianguloj kun tre malgranda angulo. Ekzistas la stabila alternativo . Antaŭ uzo de ĝi necesas ordigi la longojn de la lateroj tiel ke a ≥ b ≥ c. Tiam

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}.$

La krampoj en ĉi tiu formulo priskribas la ordon de la kalkulado kaj estas nepraj por malebligi ciferecan malstabilecon.

Ĝeneraligoj

La formulo de Herono estas speciala okazo de la formulo de Brahmagupta por areo de cikla kvarlatero; ambaŭ ili estas specialaj okazoj de formulo de Bretschneider por la areo de kvarlatero. En ambaŭ okazoj la formulo de Herono estas ricevata per preno de longo de unu el la lateroj egala al nulo.

La formulo de Herono estas speciala okazo ankaŭ de formulo de areo de trapezo laŭ longoj de lateroj kaj estas ricevata per preno de longo de la pli malgranda paralela latero egala al nulo.

La formulo de Herono povas esti skribita kiel determinanto:

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}$

kio videbligas ĝian similecon al formulo de Tartaglia por volumeno de kvaredro (3-dimensia simplaĵo).

Vidu ankaŭ

• Triangulo de Herono

Eksteraj ligiloj

• Formulo de Herono _MathWorld_ elemento sur Ardea Formulo
• A Pruvo de la Pitagora Teoremo De Ardea Formulo je tranĉi-la-nodon
• Interaga apleto kaj area kalkulilo per formulo de Herono
• Pri formulo de Herono de J.H. Conway
• Plisimpligo de pruvo de formulo de Herono Arkivigite je 2008-05-09 per la retarkivo Wayback Machine