Formulo de Herono
En geometrio, formulo de Herono estas formulo kiu ligas areon A de triangulo kun longoj de ĝiaj lateroj a, b, c:
kie s estas la duonperimetro de la triangulo:
La formulo povas esti skribita ankaŭ kiel:
Historio
redaktiLa formulon malkovris Herono de Aleksandrio, kaj pruvo troviĝas en lia libro, Metrica, verkita en proksimume la jaro 60. Estas sugesto ke Arĥimedo sciis la formulon. Formulo ekvivalenta al tiu de Herono nome:
estis esplorita en Ĉinio sendepende de la grekoj. Ĝi estis publikigita en Shushu Jiuzhang (Matematika traktato en naŭ sekcioj), verkita de Qin Jiushao kaj publikigita en 1247.
Pruvo
redaktiJen estas moderna pruvo, kiu uzas algebron kaj trigonometrion kaj estas sufiĉe malsimila al tiu provizita de Herono. Estu a, b, c longoj de la lateroj de la triangulo kaj A, B, C la anguloj kontraŭaj al tiuj lateroj. Tiam
laŭ la leĝo de kosinusoj. De ĉi tie:
- .
La alto de la triangulo al bazo a havas longon b sin(C), kaj de ĉi tio
La faktorigo de diferenco de du kvadratoj estis uzita dufoje.
Cifereca stabileco
redaktiFormulo de Herono en sia klasika formo, donita pli supre, estas ciferece malstabila por trianguloj kun tre malgranda angulo. Ekzistas la stabila alternativo [1]. Antaŭ uzo de ĝi necesas ordigi la longojn de la lateroj tiel ke a ≥ b ≥ c. Tiam
La krampoj en ĉi tiu formulo priskribas la ordon de la kalkulado kaj estas nepraj por malebligi ciferecan malstabilecon.
Ĝeneraligoj
redaktiLa formulo de Herono estas speciala okazo de la formulo de Brahmagupta por areo de cikla kvarlatero; ambaŭ ili estas specialaj okazoj de formulo de Bretschneider por la areo de kvarlatero. En ambaŭ okazoj la formulo de Herono estas ricevata per preno de longo de unu el la lateroj egala al nulo.
La formulo de Herono estas speciala okazo ankaŭ de formulo de areo de trapezo laŭ longoj de lateroj kaj estas ricevata per preno de longo de la pli malgranda paralela latero egala al nulo.
La formulo de Herono povas esti skribita kiel determinanto:
kio videbligas ĝian similecon al formulo de Tartaglia por volumeno de kvaredro (3-dimensia simplaĵo).
Vidu ankaŭ
redaktiReferencoj
redakti- ↑ Arkivita kopio. Arkivita el la originalo je 2006-11-10. Alirita 2008-04-11 .
Eksteraj ligiloj
redakti- Formulo de Herono _MathWorld_ elemento sur Ardea Formulo
- A Pruvo de la Pitagora Teoremo De Ardea Formulo je tranĉi-la-nodon
- Interaga apleto kaj area kalkulilo per formulo de Herono
- Pri formulo de Herono de J.H. Conway
- Plisimpligo de pruvo de formulo de Herono Arkivigite je 2008-05-09 per la retarkivo Wayback Machine