Formulo de Herono

(Alidirektita el Formulo de Heron)
Estas neniuj versioj de ĉi tiu paĝo, do ĝi eble ne estis kvalite kontrolita.

En geometrio, formulo de Herono estas formulo kiu ligas areon A de triangulo kun longoj de ĝiaj lateroj a, b, c:

Triangulo kun lateroj a, b, c.

kie s estas la duonperimetro de la triangulo:

La formulo povas esti skribita ankaŭ kiel:

Historio

redakti

La formulon malkovris Herono de Aleksandrio, kaj pruvo troviĝas en lia libro, Metrica, verkita en proksimume la jaro 60. Estas sugesto ke Arĥimedo sciis la formulon. Formulo ekvivalenta al tiu de Herono nome:

 

estis esplorita en Ĉinio sendepende de la grekoj. Ĝi estis publikigita en Shushu Jiuzhang (Matematika traktato en naŭ sekcioj), verkita de Qin Jiushao kaj publikigita en 1247.

Jen estas moderna pruvo, kiu uzas algebron kaj trigonometrion kaj estas sufiĉe malsimila al tiu provizita de Herono. Estu a, b, c longoj de la lateroj de la triangulo kaj A, B, C la anguloj kontraŭaj al tiuj lateroj. Tiam

 

laŭ la leĝo de kosinusoj. De ĉi tie:

 .

La alto de la triangulo al bazo a havas longon b sin(C), kaj de ĉi tio

   
 
 
 
 
 

La faktorigo de diferenco de du kvadratoj estis uzita dufoje.

Cifereca stabileco

redakti

Formulo de Herono en sia klasika formo, donita pli supre, estas ciferece malstabila por trianguloj kun tre malgranda angulo. Ekzistas la stabila alternativo [1]. Antaŭ uzo de ĝi necesas ordigi la longojn de la lateroj tiel ke a ≥ b ≥ c. Tiam

 

La krampoj en ĉi tiu formulo priskribas la ordon de la kalkulado kaj estas nepraj por malebligi ciferecan malstabilecon.

Ĝeneraligoj

redakti

La formulo de Herono estas speciala okazo de la formulo de Brahmagupta por areo de cikla kvarlatero; ambaŭ ili estas specialaj okazoj de formulo de Bretschneider por la areo de kvarlatero. En ambaŭ okazoj la formulo de Herono estas ricevata per preno de longo de unu el la lateroj egala al nulo.

La formulo de Herono estas speciala okazo ankaŭ de formulo de areo de trapezo laŭ longoj de lateroj kaj estas ricevata per preno de longo de la pli malgranda paralela latero egala al nulo.

La formulo de Herono povas esti skribita kiel determinanto:

 

kio videbligas ĝian similecon al formulo de Tartaglia por volumeno de kvaredro (3-dimensia simplaĵo).

Vidu ankaŭ

redakti

Referencoj

redakti
  1. Arkivita kopio. Arkivita el la originalo je 2006-11-10. Alirita 2008-04-11 .

Eksteraj ligiloj

redakti