Funkcio de Gudermannian

En matematiko, funkcio de Gudermannian, nomita post Christoph Gudermann (1798 - 1852), donas interrilaton inter la trigonometriaj funkcioj kaj hiperbolaj funkcioj ne engaĝante kompleksajn nombrojn.

Funkcio de Gudermannian (nigra) kun ĝiaj asimptotoj y=±π/2 (bluaj).

Ĝi estas difinita kiel

${\begin{aligned}{\rm {gd}}(x)&=\int _{0}^{x}{\frac {dp}{\cosh(p)}}=\\&=\arcsin \left(\tanh(x)\right)={\mbox{arccsc}}\left(\coth(x)\right)\\&=\arccos \left({\mbox{sech}}(x)\right)={\mbox{arcsec}}\left(\cosh(x)\right)\\&=\arctan \left(\sinh(x)\right)={\mbox{arccot}}\left({\mbox{csch}}(x)\right)\\&=2\arctan \left(\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)\right)=2\arctan(e^{x})-{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}\!$

Jenaj identoj veras:

$\sin({\mbox{gd}}(x))=\tanh(x)\!$

$\csc({\mbox{gd}}(x))=\coth(x)\!$

$\cos({\mbox{gd}}(x))={\mbox{sech}}(x)\!$

$\sec({\mbox{gd}}(x))=\cosh(x)\!$

$\tan({\mbox{gd}}(x))=\sinh(x)\!$

$\cot({\mbox{gd}}(x))={\mbox{csch}}(x)\!$

$\tan \left({\frac {{\mbox{gd}}(x)}{2}}\right)=\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)\!$

La inversa funkcio de Gudermannian

La inversa funkcio de Gudermannian arcgd estas donita per

${\begin{aligned}{\mbox{arcgd}}(x)&={\rm {gd}}^{-1}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dp}{\cos(p)}}=\\&={}{\mbox{arccosh}}(\sec(x))={\mbox{arctanh}}(\sin(x))\\&={}\ln \left(\sec(x)(1+\sin(x))\right)\\&={}\ln(\tan(x)+\sec(x))=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\\&={}{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin(x)}{1-\sin(x)}}\end{aligned}}\,\!$

La derivaĵoj estas

${\frac {d{\mbox{gd}}(x)}{dx}}={\mbox{sech}}(x)$

${\frac {d{\mbox{arcgd}}(x)}{dx}}=\sec(x)$

Vidu ankaŭ

• Trigonometria funkcio
• Inversa trigonometria funkcio
• Hiperbola funkcio
• Inversa hiperbola funkcio
• Eksponenta funkcio
• Logaritmo
• Eŭlera formulo
• Hiperbola sekanta distribuo
• Projekcio de Mercator
• Tangenta duono-angula formulo

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Gudermannian en MathWorld.