Grek-latina kvadrato

Grek-latina kvadrato de ordo n estas tabelo de n vicoj kaj n kolumnoj plenigita per n² diversaj paroj. Rigardante nur la unuan elementon de ĉiu paro, la tabelo aperas kiel latina kvadrato. Same por la dua elemento de la paroj. La du latinaj kvadratoj estas ortaj. Se ili ne estus ortaj, la n² paroj ne estus diversaj.

La nomon "grek-latina" oni uzas ĉar la paro ofte konsistis el unu litero greka kaj unu latina.

Ekzemploj redakti

Ortaj latinaj kvadratoj redakti

Ni prenu du latinajn kvadratojn

A_{1}={\begin{bmatrix}A&C&B&D\\D&B&C&A\\C&A&D&B\\B&D&A&C\\\end{bmatrix}}\quad \quad A_{2}={\begin{bmatrix}1&4&3&2\\3&2&1&4\\2&3&4&1\\4&1&2&3\\\end{bmatrix}}

Se $A$ estas la kvadrato $A_{1}$ aŭ $A_{2}$ , $A[i,j]$ estas la elemento en la vico $i$ kaj la kolumno $j$ de $A$ . La kombinon de tiuj kvadratoj, $A_{1}+A_{2}$ oni difinas tiel : la elemento en la vico $i$ kaj la kolumno $j$ de $A_{1}+A_{2}$ estas la paro $(A_{1}[i,j],A_{2}[i,j])$ .

La du latinaj kvadratoj $A_{1}$ kaj $A_{2}$ estas ortaj se ĉiu paro de la kvadrato $A_{1}+A_{2}$ aperas nur unu fojon.

La kombino de du ortaj latinaj kvadratoj estas grek-latina kvadrato :

A_{1}+A_{2}={\begin{bmatrix}A,1&C,4&B,3&D,2\\D,3&B,2&C,1&A,4\\C,2&A,3&D,4&B,1\\B,4&D,1&A,2&C,3\\\end{bmatrix}}

Du ne ortaj latinaj kvadratoj redakti

Se nun ni prenu kiel duan kvadraton jenan latinan kvadraton :

A_{2}'={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\\3&4&1&2\\2&3&4&1\\\end{bmatrix}}

La nova kombino ne faras grek-latinan kvadraton :

A_{1}+A'_{2}={\begin{bmatrix}A,1&C,2&B,3&D,4\\D,4&B,1&C,2&A,3\\C,3&A,4&D,1&B,2\\B,2&D,3&A,4&C,1\\\end{bmatrix}}

Ni rimarkas ke la paro $A,4$ aperas du fojojn, kaj ke la paro $D,2$ mankas. La latinaj kvadratoj $A_{1}$ et $A'_{2}$ ne estas ortaj kaj ne faras grek-latinan kvadraton.

Iom da historio redakti

La problemo de la oficiroj redakti

Problemo de la 36 oficiroj: grek-latina kvadrato de ordo 6 ne ekzistas

En 1782, la svisa matematikisto Leonhard Euler formulis jenan matematikan problemon. Pensu pri ses regimentoj, kaj en ĉiu regimento ses oficiroj de ses diversaj rangoj. La problemo estas aranĝi la 36 oficirojn en kradon de 6x6, kun unu oficiro en ĉiu fako, kaj tiel ke ĉiu vico kaj ĉiu kolumno entenu po unu oficiron de ĉiu rango kaj de ĉiu regimento.

Temas pri grek-latina kvadrato de ordo 6 (unu latina kvadrato por la regimentoj, alia por la rangoj). Tiu problemo estas nesolvebla. Euler jam sentis tion, sed ne formale pruvis sian konjekton. Li diris :

Nu, post ĉiuj baraktadoj por solvi ĉi tiun problemon, oni devis rekoni ke tia aranĝo estas tute neebla, sed nerefuteblan pruvon por tio oni ne trovis.

En 1901, la franco Gaston Tarry konsideris ĉiujn eblajn aranĝojn, kaj tiel formale pruvis la neeblon de la solvo.

La problemo por aliaj ordoj redakti

En 1958, Bose, Parket kaj Shrikhande pruvis ke grek-latinaj kvadratoj ekzistas de ĉiuj ordoj pli grandaj ol 2, krom la ordo 6.