Malfermi la ĉefan menuon

En matematiko, homogena funkcio estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la homogenaj polinomoj.

Formale, estu

funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo .

Ni diru, ke estas homogena de grado , se la ekvacio

veras por ĉiuj kaj .

Lineara funkcio estas homogena de grado 1.

Plurlineara funkcio estas homogena de grado n:

Eŭlera teoremo pri homogenaj funkciojRedakti

Funkcio

 

kiu estas homogena de grado  , havas partajn derivaĵojn de grado  . Plue, ĝi verigas la eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj, kiu konstatas, ke

 

Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi tio estas

 

Pruvo

Estu  , trovu derivaĵon de

 

je  . Laŭ ĉena regulo estas

 ,

kaj do

 .

Ĉi tio povas esti skribita per nabla operatoro kiel

 ,

de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti  .

ĜeneraligojRedakti

Pli ĝenerale, funkcio   estas nomata homogena, se la ekvacio   veras por iu severe pligrandiĝanta pozitiva funkcio  .

Foje funkcio veriganta   por ĉiu pozitiva   nomiĝas pozitive homogena (ĉi tio postulas, ke la kampo   estu  ; almenaŭ necesas orda rilato por difini la pozitivecon).

Eksteraj ligilojRedakti