Sfera leĝo de kosinusoj

En sfera trigonometrio, la leĝo de kosinusoj aŭ kosinusa regulo por lateroj estas teoremo rilatante al lateroj kaj anguloj de sfera triangulo, analoga al la ordinara leĝo de kosinusoj de ebena trigonometrio.

Sfera triangulo kaj la leĝo de kosinusoj.

Por donita unuobla sfero, "sfera triangulo" sur la surfaco de la sfero estas difinita per la ĉefcirkloj konektantaj tri punktojn u, v, kaj w sur la sfero. La longoj de ĉi tiuj tri lateroj (anguloj en radianoj al ĉi tiuj lateroj de la centro de la sfero) estu a (de u al v), b (de u al w), kaj c (de v al w). La angulo kontraŭa al a estu A, angulo kontraŭa al b estu B, angulo kontraŭa al c estu C. Tiam la unua sfera leĝo de kosinusoj estas:

cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(C)

La dua sfera leĝo de kosinusoj estas:

cos(A) = -cos(B) cos(C) + sin(B) sin(C) cos(a)

Ĝi povas esti ricevita de konsidero de la sfera triangulo duala al la donita unu.

Se la leĝo de kosinusoj estas uzata por trovi valoron c, la uzo de inversigita kosinuso pligrandigas rondigan eraron se c estas malgranda. En ĉi tiu okazo, la alternativa formulaĵo de la leĝo de haversin estas preferinda.

Por malgrandaj sferaj trianguloj, kio estas por malgrandaj a, b, kaj c, la sfera leĝo de kosinusoj estas proksimume la sama kiel la ebena leĝo de kosinusoj

c² ≈ a² + b² - 2ab cos(C)

La eraro en ĉi tiu proksimuma kalkulado estas

O(c⁴) + O(a² b²) + O(a³ b) + O(a b³)

Se C = π/2, do cos(C)=0, kaj rezultiĝas la sfera teoremo de Pitagoro:

cos(c) = cos(a) cos(b)

Pruvo

Estu u, v kaj w la unuoblaj vektoroj de la centro de la sfero al tiuj anguloj de la triangulo. Tiam, la longoj (anguloj) de la lateroj estas donataj per la skalaraj produtoj:

$\cos(a)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}$

$\cos(b)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {w}$

$\cos(c)=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}$

Por ricevi la angulon C, oni bezonas la tanĝantajn vektorojn t_a kaj t_b je u laŭ direktoj de lateroj a kaj b, respektive. Ekzemple, la tanĝanta vektoro t_a estas la unuobla vektora perpendikulara al u en la ebeno de u kaj v, kies direkto estas donita per la komponanto de v perpendikulara al u. Tiel

$\mathbf {t} _{a}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{\left|\mathbf {v} -\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\right|}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {u} \cos(a)}{\sin(a)}}$

kie por la denominatoro oni uzas la pitagoran identan (sin a)² = 1 - (cos a)². Simile,

$\mathbf {t} _{b}={\frac {\mathbf {w} -\mathbf {u} \cos(b)}{\sin(b)}}$

Tiam, la angulo C estas:

$\cos(C)=\mathbf {t} _{a}\cdot \mathbf {t} _{b}={\frac {\cos(c)-\cos(a)\cos(b)}{\sin(a)\sin(b)}}$

de kio la leĝo de kosinusoj sekvas.

Eksteraj ligiloj

• Sfera trigonometrio